Revolución francesa, matemáticos y Napoleón

La Geometría Analítica y el Cálculo Diferencial e Integral se desarrollan en el siglo XVII. El siglo XVIII será momento de revoluciones. Las revoluciones no se limitan a la esfera política, la Revolución Industrial, por ejemplo, permitió establecer las bases de la Química moderna.

En Francia el año 1789 marca un hito crucial. En el campo de las matemáticas esta época producirá una revolución geométrica y analítica.

Durante el siglo XIV la Universidad de París había sido uno de los centros científicos más importates del mundo, junto con la Universidad de Oxford. Pero esta posición fue quedando irremisiblemente estancada los siglos siguientes. Cuando toda Europa aceptaba la filosofía cartesiana, París se aferraba al escolasticismo aristotélico. Y cuando el mundo científico pone sus ojos en la  física newtoniana, París quedaba en retaguardia defendiendo el cartesianismo.

La mayor parte de los matemáticos franceses del siglo XVIII no estaban integrados en las universidades, sino que estaban relacionados con la iglesia o el ejército, o bien disfrutaban de mecenazgo real.

Entre los intelectuales que anunciaron la llegada de la Revolución Francesa (1789) estaban Voltaire, Rousseau, D'Alambert y Diderot, ninguno de los cuales vivió lo suficiente como para ver la Toma de la Bastilla.

En lo que a las matemáticas se refiere, Monge, Lagrange, Laplace, Legendre, Carnot y Condorcet se verán metidos en el centro de los desórdenes de la Revolución Francesa. Condorcet se suicidaría en prisión en 1794, los demás vivieron para ver el triunfo de la Revolución.

La caída de la Bastilla en 1789 encontró a estos seis matemáticos divididos en dos grupos. Lagrange, Laplace y Legendre no tomaron parte importante en el desarrollo de los sucesos políticos de ese momento. En cambio,  Carnot, Condorcet y Monge recibieron con entusiasmo las perspectivas de cambio, y jugaron papeles concretos en las actividades revolucionarias.

Todos ellos trabajaron de manera común en un proyecto matemático durante la Revolución: la reforma del Sistema de Pesos y Medidas.

En 1790 Tayllerand propuso la reforma a un Comité de Pesos y Medidas de la Academia de las Ciencias. Se propusieron sistemas decimales y duodecimales, Lagrange apostó firmemente por los decimalistas. El Comité se mostró impresionado por la exactitud con que Legendre había medido la longitud del meridiano terrestre, lo que finalmente definió al metro: la diezmillonésima parte de la longitud del cuadrante del meridiano terrestre. El sistema métrico estaba casi perfilado en 1791, pero hubo retrasos en su puesta en vigor.

Tras turbulentos cambios que hicieron suprimir en 1793 la Academia de las Ciencias, se crea el Institut National. Lagrange, Laplace, Legendre y Monge formarán parte del nuevo Comité. En 1799 los trabajos se terminaron al fin. Carnot estuvo desconectado de este proyecto.

 Joseph-Louis Lagrange

Joseph-Louis Lagrange fue el único del grupo que no era francés en sentido estricto, había nacido en Turín. Realizó sus primeros estudios en Turín y fue profesor de matemáticas en la Academia Militar de Turín. Más tarde disfrutaría del mecenazgo de Federico el Grande de Prusia y de Luis XVI de Francia.

Lagrange publica Mécanique Analytique en 1788.

En plena época del Terror, Lagrange consideró seriamente la posibilidad de abandonar Francia, pero justamente se crean  le École Normale y la École Polytechnique, y Lagrange es invitado a dar lecciones de Análisis.

Lagrange había estado bajo el patrocinio de reyes, pero durante la Revolución no tomó partido ni a favor ni en contra del rey o del Segundo Estado.

En 1797 publica Théorie des fonctions analytiques, que desarrollaba algunas ideas que ya había presentado en un artículo 25 años atrás. Aparece en el texto la derivada de Lagrange, que daría lugar  al actual nombre de derivada de una función.

Puede decirse que la obra de Lagrange durante la Revolución tuvo una gran influencia en el desarrollo posterior de la matemática, porque supuso los inicios de un campo nuevo que desde entonces es el verdadero centro de la matemática: la teoría de funciones de una variable real.

La fama de Lagrange se extendió desde sus primeras publicaciones, y en 1766 Euler y D'Alambert se lo aconsejaron a Federico II el Grande para suceder al propio Euler, cargo que Lagrange aceptó, permaneciendo en Berlín veinte años. En 1767 publicó una memoria sobre la aproximación de raíces de ecuaciones polinómicas por medio de fraciones continuas. En un artículo en 1770 estudió la resolubilidad de ecuaciones en términos de las permutaciones de sus raíces. Esto conduciría más tarde a la importante teoría de grupos y a las demostraciones, de Abel y Galois, de la irresolubilidad en términos usuales de las ecuaciones algebraicas de grado mayor que cuatro. Lagrange conjeturó que las ecuaciones polinómicas de grado mayor que cuatro no serían resolubles por radicales, en el sentido usual.

Nicolas Condorcet

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Nicolas Condorcet se formó en las escuelas de los jesuitas y más tarde en el College de Navarre. Publica De Calcul Intégral en 1765 y Essai sur l'application de l'analyse á la probabilité des décisions rendues á la pluralité des voix en  1785. Fue uno de los matemáticos que más hizo por la revolución, e irónicamente perdió su vida en ella.

Condorcet era un fisiócrata, filósofo y enciclopedista, que perteneció al círculo de D'Alembert y Voltaire. Publicó libros sobre teoría de probabilidades y cálculo integral, pero también fue un inquieto idealista y visionario que se interesaba por todo lo que tuviera que ver con el bienestar de la humanidad.

Condorcet sentía una profunda aversión por la injusticia y, a pesar de tener el título de marqués, se dedicó a trabajar en favor de la reforma del Antiguo Régimen. Creyendo que la educación conseguiría transformar una sociedad viciosa, defendió la educación pública y libre.

El sistema educativo anterior se había derrumbado bajo la presión de la Revolución, y Condorcet vio que ese era el momento de intentar introducir las reformas que tenía en mente. Presentó sus planes a la Asamblea Legislativa, pero el agitado ambiente en torno a otros temas hizo imposible que fuesen considerados. Condorcet plantea en 1792 el plan para una educación pública y libre, que no sería tenido en cuenta hasta muchos años después de su muerte.

Condorcet había puesto sus máximas esperanzas en la Revolución, en particular en el ala girondina moderada de la Revolución, hasta que los extremistas se hicieron con el control del poder, momento en el que denuncia a los septembristas y es ordenado su arresto. Se ocultó durante meses mientras escribía su última obra Bosquejo de un cuadro histórico del progreso de la mente humana.  Una vez acabada la obra en 1794, abandona su refugio. Inmediatamente es reconocido como parte de la aristocracia y fue arrestado. A la mañana siguiente se le encontró muerto en su celda, presumiblemente por suicidio.

Hoy se recuerda a Condorcet como un pionero de la matemática social, por la aplicación de las probabilidades y la estadística a los problemas sociales.

Gaspard Monge 

Gaspard Monge era hijo de un comerciante con pocos recursos, sin embargo gracias a la influencia de un  teniente coronel que quedó impresionado con su inteligencia, Monge pudo seguir algunos cursos en la École Militaire de Méziéres. Su gran valía hizo que pronto pasara a ser profesor de esta escuela.

Monge contribuyó con numerosos artículos matemáticos a la Mémoire de la Académies des Sciences, y al suceder a Bézout como examinador de la Escuela de la Marina, las autoridades le insistieron en que debía de escribir un texto que sirviera como guía para el estudio a los candidatos a ingresar en dicha escuela. Sin embargo, Monge estaba más interesado en la enseñanza y la investigación que en escribir libros. Solo llegó a completar un volumen del proyecto, Traité élémentaire de Statique (1788)

De entre la enciclopedias matemáticas de finales del siglo XVIII, había destacado Cours de mathemátique de Bézout, que era instructor en la École de Méziéres. Trataba en su mayor parte sobre los principios de la mecánica.

A Monge no solo le atraían las matemáticas puras y aplicadas, sino también la física y la química; participó en experimentos junto a Lavoisier que condujeron a lo que se denominó la revolución química de 1789. De hecho su fama como químico y físico era probablemente mayor que la de matemático, ya que su nueva geometría no había sido apreciada debidamente.

La obra más importante de Monge, Géométrie descriptive, no se había publicado porque sus superiores consideraron que era necesario mantenerla reservada confidencialmente en interés de la defensa nacional.

Monge por su origen plebeyo formó parte del Club Jacobino, ala radical de la Revolución. Tras su etapa de examinador en Méziéres, retorna a París en 1792 y es nombrado ministro de la Marina. Y fue precisamente en su condición de ministro que le correspondió la tarea de firmar el documento oficial relativo al juicio y ejecución del rey. La flota francesa era tan ineficaz que Monge dimite viéndose incapaz de solucionarlo. Pero siguió activo en la política. A instancias del Comité de Salud Pública publicó Description de l'art de fabriquer les canons.

A lo largo de toda la Revolución, Monge estuvo en situación de riesgo, demasiado liberal para los conservadores y demasiado conservador para los extremistas.

En 1794 Monge forma parte de la Comisión de Obras Públicas, encargada de crear la institución adecuada para la preparación de ingenieros: École polytechnique. Monge venció su resistencia a escribir libros de texto debido a que la reforma de los programas de matemáticas hizo necesario el uso de textos adecuados. Monge además impartía un denso curso, donde una de las materias, entonces era conocida como "Estereotomía", y después fue conocida como "Geometría Descriptiva". El programa ha llegado en forma manuscrita a nuestros días: estudio de sombras, perspectiva y topografía, propiedades de las superficies, planos tangentes, teoría de máquinas,...

Puede decirse que mientras el siglo XVII fue el siglo de las curvas, la cicloide, la catenaria, la lemniscata, las hipérbolas, parábolas, espirales de Femat, perlas de Sluse,...el siglo XVIII fue el siglo en el que comenzó realmente el estudio sistemático  de las superficies.

Monge era un verdadero especialista en geometría, casi podríamos decir que el primero desde Apolonio (siglo III a.C.), así como un excelente profesor. El desarrollo de la geometría del espacio se debió en buena parte a la actividad matemática y revolucionaria de Monge. De no ser por su actividad política podría no haberse creado nunca la École Polytechnique, y de no haber sido un maestro con gran capacidad para transmitir su entusiasmo, el renacimiento de la geometría tridimensional podría no haberse producido.

Monge también fue profesor en una nueva escuela, École Normale, las lecciones impartidas en 1794-95 fueron publicadas en  su libro Géométrie descriptive. La idea básica que hay tras la nueva geometría descriptiva o método de doble proyección ortogonal produjo una revolución en la teoría de proyectos de la ingeniería militar de la época de Monge.

Pero la geometría descriptiva no fue la única contribución de Monge a la matemática del espacio 3D, también impartió un curso sobre Aplicaciones del Análisis a la Geometría en la École Polytechnique. El nombre de Geometría analítica en esta época no había alcanzado el reconocimiento de la comunidad matemática, de la misma manera que no había nada que se denominase Geometría diferencial, el curso de Monge era esencialmente una introducción a este nuevo campo, no había ningún libro de texto, así que Monge se vio obligado a  escribir su  Feuilles d'analyse  (1795) para uso de estudiantes. En este libro la geometría analítica tridimensional adoptó su forma definitiva, fue el prototipo de los programas actuales de geometría analítica del espacio.

En 1802 Monge y Hachette publican Application de l'algébre á la géométrie, que se podría haber usado perfectamente como libro de texto a lo largo del siglo XX.

 La mayor parte de los resultados de Monge sobre la geometría analítica de rectas y planos aparecían ya en las  memorias del año 1771. En las Feuilles d'analyse y en la memoria compartida con Hachette, aparece la mayor parte de la geometría analítica del espacio y de la geometría diferencial elemental que hoy contienen los libros de texto de las universidades. No aparece aún el uso explícito del determinante, tarea que corresponde al siglo XIX; no obstante la utilización de notaciones simétricas por parte de Monge son una anticipación de los determinantes, pero sin la distribución en filas y columnas, tan usual hoy, y que es debida a Cayley.

 

Entre los resultados nuevos debidos a Monge destacan dos:
- El punto de Monge del tetraedro: " El punto  de  Monge  M, es  la  intersección  de  los  planos  que  pasan  por  el  punto medio  de  cada  arista  y  son  perpendiculares  a la  arista  opuesta.".

- La esfera de Monge: "El lugar geométrico de los vértices de los triedros trirrectángulos cuyas caras son tangentes a una superfiie cuadrática dada, es una esfera".

Lagrange estaba tan impresionado por la obra de Monge que exclamó: "Con sus aplicaciones del análisis a la geometría este demonio de hombre conseguirá hacerse inmortal".

Los discípulos de Monge pusieron en circulación un verdadero torrente de libros de texto elementales de geometría analítica que no tenía precedentes. Con la aparición casi repentina de tantas geometrías a partir de 1798 se produjo una auténtica revolución en la enseñanza. La geometría analítica que había permanecido eclipsada por el cálculo durante más de un siglo, consiguió de pronto que se le reconociera un lugar en las escuelas; la paternidad de esta "revolución analítica" hay que atribuirla a Monge.

Monge fue sin duda, una de las figuras más relevantes de la Revolución; sin embargo, el matemático que estaba en boca de todos los franceses era Lazare Carnot.

Lazare Carnot

Lazare Carnot, el más joven de todos, pertenecía a la burguesía lo que le permitió asistir a la École Militaire de Méziéres, en la que uno de sus profesores fue Monge. Después de graduarse ingresó en el ejército.

Carnot publicó en 1786 la segunda edición de su obra Essai sur les machines en géneral, y otra obra sobre fortificaciones militares. 

Cuando Carnot vio amenazado el éxito de la Revolución, tanto por la confusión interna en Francia como por las amenazas de invasión del exterior, organizó los ejércitos y los condujo a la victoria. Carnot era un republicano tan ardiente como Monge, pero evitó pertenecer a ninguna de las muchas camarillas políticas de la convulsa época, con un alto sentido de la reponsabilidad trató de ser siempre imparcial. Se opuso a Robespierre, quien había asegurado que Carnot perdería la cabeza en el primer desastre militar que tuviera. Si Carnot hubiera sido matemático y político, como Monge y Condorcet, muy bien podría haber acabado en la  guillotina, pero Carnot se ganó la admiración de sus compatriotas por sus éxitos militares. Cuando la Convención Nacional propuso su arresto, los diputados le aclamaron y defendieron, y fue la cabeza de Robespierre la que cayó en lugar de la suya. Y Carnot sobrevivió para tomar parte en la consolidación de la École Polytechnique. Su hijo Hippolyte llegó a ser ministro de Instrucción Pública en 1848. Su nieto Sadi Carnot fue el cuarto presidente de la Tercera República Francesa.

Carnot llevó una fascinante vida política hasta 1797. Había pasado por la Asamblea Nacional, por la Asamblea Legislativa, la Convención Nacional, por el poderoso Comité de Salud Pública, el Consejo de los Quinientos y el Directorio. Sin embargo en 1797 rehusó apoyar un golpe de estado civil y eso supuso su deportación.

El Teorema de Napoleón se ha atribuido erróneamente al general. El autor fue Lorenzo Mascheroni, quien sabiendo de la pasión del general francés por la geometría, le dedicó su libro Geometría del Compasso 1797. La confusión hizo que de forma injusta se atribuyera a Napoleón el nombre del teorema y su demostración.

El nombre de Carnot y su cargo en la sección de Geometría del Institut National fue suprimido y se le adjudicó al general Bonaparte, incluso Monge se unió al ultraje intelectual de Carnot. En defensa de Monge se dice que estaba absolutamente hipnotizado por Napoleón Bonaparte. Monge siguió a su ídolo Napoleón en lo bueno y en lo malo, era tal su devoción que caía literalmente enfermo cada vez que Napoleón perdía una batalla. Esta actitud contrasta con la de Carnot, que en principio fue el responsable de la ascensión de Bonaparte al poder, por su nombramiento para llevar la campaña italiana, pero más tarde no dudó en oponerse al frankestein que había creado, lo que estuvo a punto de costarle la vida.

Los meses de destierro de Carnot le dieron la oportunidad de completar la obra que tenía en mente: Réflexions sur la métaphysique du calcul infinitesimal, que publicaría en 1797. Esta obra está más cercana a la filosofía que a la matemática o la física. Anunciaba la llegada del rigor y el interés por los fundamentos de la matemática, uno de los temas centrales del siglo XIX.

Las Réflexions de Carnot gozaron de una gran popularidad, pero su fama le vino a través de su obra De la corrélation des figures de la géométrie (1801), con ella intentó establecer para la geometría pura un nivel de generalidad comparable al que gozaba entonces la geometría analítica.

Carnot publica en 1803 Géométrie de position, obra que lo sitúa al nivel de Monge, como uno de los  fundadores de la geometría pura moderna. Su tendencia a las generalizaciones le condujo a bellos resultados tridimensionales análogos a otros teoremas conocidos de la geometría plana.

Carnot extiende el resultado del teorema del coseno sobre un triángulo cualquiera \(   a^{2}= b^{2}+c^{2}-2bc\cdot cos(A)     \), a una forma generalizada sobre un tetraedro:
\[  a^{2}= b^{2}+c^{2}+d^{2}-2cd \cdot cos(B)-2bd\cdot cos(C)-2bc\cdot cos(D)    \]

donde a, b, c y d son las áreas de las cuatro caras y B, C, D son los ángulos diedros que forman los pares de caras  de áreas c y d, b y d, b y c.

Para los matemáticos el nombre de Carnot está asociado a un teorema de geometría que apareció en 1806 en su obra Essai sur le  théorie des transversales, se trataba de una generalización del conocido Teorema de Menelao:

TEOREMA DE CARNOT "Sea una curva geométrica cualquiera que intercepta el triángulo ABC. Si (A'B') es el producto de los segmentos interceptados sobre AB, entre A  y las diferentes ramas de la curva. (B'A') será el producto de los segmentos interceptados sobre BA, entre B y las diferentes ramas de la curva. Análogamente (A'C') (C'A') sobre AC y (B'C') (C'B') sobre BC. Entonces:

(A'B') · (B'C') · (C'A') = (B'A') · (C'B') · (A'C')

Carnot fue un gran militar, político y geómetra, pero también se dedicó a la especulación económica. El fracaso de la aventura colonial, en la que había invertido importantes sumas de dinero, le llevó a la ruina en 1809, momento en el que el emperador Bonaparte, generosamente, le concedió un cargo oficial.

 

 Pierre Simon Laplace

Pierre Simon Laplace nació en una familia modesta pero encontró amigos influyentes que le proporcionaron el acceso a una educación esmerada en una academia militar.

Laplace no tomó parte prácticamente en actividades revolucionarias; en política carecía de convicciones concretas. Pese a ello parece haberse relacionado libremente con colegas científicos  que eran sospechosos durante el período de la crisis francesa.

Jugó un papel menor en el Comité de Pesos y Medidas, y fue también profesor en la École Normale y la École Polytechnique, pero no publicó sus lecciones, como lo habían hecho Monge y Lagrange. Sus publicaciones estuvieron dedicadas principalmente a la mecánica celeste, campo en el que destacó sin rivales a su altura, desde la época de Newton.

Estudió las condiciones de equilibrio  de una masa fluida en rotación, problema que conectaba con la hipótesis de los orígenes del sistema solar a partir de una nebulosa inicial. Laplace formuló esta hipótesis en 1796, Exposition du systéme du monde.

En Mécanique Céleste (1799-1825, 5 volúmenes) Laplace expone que el sistema solar evolucionó a partir de una masa de gas incandescente girando alrededor de su eje. Al irse enfriando, el gas se contrajo, lo que originó que el movimiento de rotación se fuese acelerando, en virtud del principio de conservación del momento angular, lo que provocó que se desprendieran sucesivos anillos del borde exterior, que se fueron condensando y formaron los planetas, mientras que el Sol en rotación constituyó el núcleo central que quedó en la nebulosa. La idea básica de esta hipótesis no era completamente original de Laplace, había sido expuesta por Thomas Wright e Immanuel Kant, pero sería Laplace quien la dotaría de la formulación matemática.

La Mécanique Céleste fue la culminación de la teoría newtoniana de la gravitación expuesta en los Principia de Newton. Newton había calculado la velocidad del sonido en el aire mediante consideraciones puramente teóricas, para deducir al final que el valor calculado era demasiado pequeño. Laplace fue el primero en señalar que la discrepancia entre las velocidades  calculadas frente a las medidas por observación, era debida al hecho de que los cálculos en los Principia de Newton se basaban en la suposición de que las compresiones y expansiones del aire al transmitir el sonido eran isotermas, cuando en realidad las oscilaciones del sonido son tan rápidas que las compresiones y expansiones son adiabáticas, lo que incrementa el coeficiente de elasticidad del aire y, en consecuencia, la velocidad del sonido.

Napoleón que sentía una gran admiración por los hombres de ciencia, lo nombró ministro del Interior, un puesto que ya había ocupado Carnot. Laplace no mostró demasiadas aptitudes para el cargo.

La obra de Laplace no tuvo una influencia inmediata y duradera, sus resultados representan el final de una época más que el comienzo de un período nuevo. Hay que hacer una salvedad, su teoría de las probabilidades.

La teoría de probabilidades debe más a Laplace que a nigún otro matemático. Desde 1774 escribió muchos resultados que organizó e incorporó en su libro Théoríe Analytique des Probabilités, 1812.
En esta obra demuestra su dominio del cálculo superior. Incluía las funciones beta y gamma. Laplace fue uno de los primeros que demostró que:

\[   \int_{-\infty }^{+\infty }e^{-x^{2}}dx   \]

es decir, el área bajo la curva de probabilidades \(  e^{-x^{2}}      \)  es igual a   \(   \sqrt{\pi}     \)

También  dedica su atención al cálculo de \( {\pi} \) por medio del problema de la aguja de Buffon, que había permanecido en el olvido durante 35 años. Por ello a veces a este problema se le nombra como la aguja de Buffon-Laplace, debido a que Laplace extendió el problema original a una cuadrícula de dos haces de rectas paralelas equidistantes y perpendiculares el uno al otro. Si las distancias entre las rectas de cada haz son a y b, entonces la probabilidad de que una aguja de longitud   \(   L     \) (menor que a y b) lanzada al azar corte a una de las rectas de la cuadrícula, es:


\[   p=\frac{2L(a+b))-L^{2}}{\pi ab }   \]


La Théoríe Analytique des Probabilités contiene también la transformada de Laplace, de enorme utilidad para la teoría de Ecuaciones Diferenciales.

La función \(   f(x)     \) es la transformada de Laplace de la función \(   g(x)     \) si verifica:

\[    f\left ( x \right )= \int_{0}^{\infty }e^{-xt} g\left ( x \right )dt  \]


Laplace consideró la teoría de la probabilidad  desde todos los puntos de vista, y su Essai Philosophique des Probabilités de 1814 es una exposición de la probabilidad para lectores no especializados. En ella, Laplace afirmaba "en el fondo, la teoría de probabilidades es solo el sentido común expresado en números"

Adrien Marie Legendre

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Adrien Marie Legendre no tuvo dificultades en cuanto a su educación, durante 5 años enseñó en la École Militaire de Paris.

En 1794, el año del Terror, publicó Éléments de Géométrie, un libro de texto que alcanzó un gran éxito, uno de los productos matemáticos de la Revolución que tuvo una influencia más profunda, se llegaron a vender hasta 20 ediciones de esta obra en vida del autor. Los Elementos de Geometría de Legendre se publicaron en América para uso en las escuelas, de manera que Legendre y geometría parecían sinónimos. Sin embargo Legendre no era un geómetra,  destacó en numerosos campos de las matemáticas: cálculo, teoría de ecuaciones diferenciales, teoría de funciones, teoría de números, ...

Publicó Traité des fontcions elliptiques et des intégrales euleriénnes (1825-1832) e introdujo el nombre de integrales eulerianas para designar a las funciones beta y gamma.

Legendre fue una figura importante en geodesia, y en ese contexto desarrolló el método estadístico de los mínimos cuadrados.

 

Napoleón Bonaparte

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En el año 1799 Napoleón se hizo con el control del poder en Francia, y se da por finalizado el período de la Revolución. Con Napoleón las condiciones para el desarrollo de la matemática siguieron siendo favorables.

Monge, Carnot y Lagrange fueron nombrados condes del imperio, y Laplace consiguió el título de marqués, el único que nunca tuvo un título de nobleza fue Legendre.

Desde el punto de vista matemático la historia tuvo un final feliz, porque pudieron continuar su obra hasta el final. Desde el punto de vista político Carnot y Monge salieron derrotados, tenían, los dos, sólidas convicciones políticas y ambos habían votado a favor de la ejecución de Luis XVI. Carnot se opuso a los dictadores, y en 1804 fue el único tribuno con valor suficiente como para votar en contra del nombramiento de Napoleón como emperador. Pese a ello, cuando consideró que la prosperidad de Francia lo exigía, Carnot sirvió a Napoleón de buen grado. Por su parte Monge apoyó a su ídolo desde que Napoleón era un simple cabo revolucionario hasta que se convirtió en el emperador déspota. Acompañó a Bonaparte en las campañas de Italia y Egipto, y fue el propio Monge el encargado de la delicada tarea de seleccionar qué obras de arte se transportarían a París como botín de guerra.

Tras la restauración de la monarquía francesa, Carnot se vio obligado a exiliarse en Magdeburg, y Monge fue desterrado y despojado de todos los honores, incluidos sus cargos en la École Polytechnique y el Instituto Nacional. Este giro de los acontecimientos fue aceptado por Carnot, en cambio Monge se quebró y moriría poco después.

Lagrange había muerto en 1813, unos años antes de la crisis napoleónica.

Legendre parece haber permanecido políticamente neutral a lo largo de todos estos cambios, gracias a su carácter tímido y reservado. Hacia el final de su vida también sufrió las consecuencias de las represalias políticas.

Laplace, por su parte, hacía las paces con cada régimen político según iban llegando, incluía en las edicciones de sus obras las más encendidas alabanzas de cualquier bando que ocupase circunstancialmente el poder. Laplace fue admirado por su contribución a las matemáticas, pero despreciado por su oportunismo político.

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Historia de la matemática (Carl B. Boyer)

La Historia que vivieron los Matemáticos

Matemáticos durante la Revolución francesa (1789-1799)

Las Matemáticas en la Revolución francesa (Universo Matemático, videos)

La constante ɣ de Euler

En 1748 Leonhard Euler publica Introductio in Analysin Infinitorum en dos volúmenes (E101, E102).

La Introductio de Euler resultó trascendente, afectando a las matemáticas posteriores en contenido, estilo y notación. Euler da una definición exacta de función que difiere algo del concepto moderno:

"Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier forma, cualesquiera que sean la cantidad variable y las cantidades constantes".

 Pero Euler fue más allá de dar esa definición, destacó aquellas funciones que han sido utilizadas como los bloques esenciales para construir el Análisis: polinómicas, trigonométricas, exponenciales y la función logaritmo.

Fue Euler el primero que entiende la función logaritmo como la inversa de una función exponencial y no un mero instrumento de cálculo.

Es importante recalcar que las tablas de logaritmos habían aparecido un siglo antes de que Euler naciera. Una tabla de logaritmos fue, desde esa época hasta mediados del siglo XX, lo que las calculadoras y el ordenador son en la época moderna: un gran invento para ahorrar tiempo en los cálculos tediosos. Transformaban la multiplicación y la divisón en simple adicción o sustracción.

El término logaritmo fue acuñado por Napier en el siglo XVII. Henry Briggs, profesor de geometría en Oxford, visitó a Napier en Edimburgo y después de discutirlo, llegaron a la conclusión de que el logaritmo de 1 debía ser igual a 0, mientras que el logaritmo de 10 debía ser igual a 1. Así nacen los logaritmos de "base vulgar" o logaritmos de Briggs. 

La tarea de construir la primera tabla de logaritmos en base 10 fue asumida por Briggs, fue una labor tediosa que la siguiente generación de matemáticos mejoraría usando series infinitas. Los primeros pasos en el nuevo cálculo logarítmico fueron dados por Gregoire de Saint Vicent, quien sugirió que existía relación entre los logaritmos y el área bajo un segmento de hipérbola.

  Ahora sabemos que el área bajo un segmento de hipérbola viene dado por el logaritmo natural.

 \[   \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\cdot dt= ln (x)   \]

Serán Mercator y Newton quienes aproximarán estas áreas hiperbólicas mediante series, y por tanto los logaritmos.

Newton obtuvo que:

\[ ln(1+x)= \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\cdot dt=\int_{0}^{x} (1-t+t^{2}-t^{3}+...)= x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-...     \]

Euler conoció los métodos de Newton y Mercator para aproximar valores de logaritmos mediante series, y lo mejoró. Euler observó que esa serie no aproximaba los logaritmos con la eficiencia deseada. Así que realiza un cambio, sustituye \(x\)  por \( -x \) : 

\[ ln (1-x) = - x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-... \]

Restando ambas expresiones obtuvo:

 \[ ln(1+x) - ln (1-x) = 2x+ \frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}+...\]

\[  ln\frac{1+x}{1-x}=2\cdot \left [x+ \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+... \right ]    \]

Euler afirmó que esta serie era fuertemente convergente para valores pequeños de x y que transformaría el cálculo de logaritmos decimales en una labor sencilla. Fue Euler el que, además, había demostrado la "regla de oro de los logaritmos", es decir, la relación entre logaritmos de distintas bases:  \(  \log_{10}(b) = \dfrac{ln (b)}{ln (10)} \).

Así, si  \(  x=   \dfrac{1}{3}   \), se podría calcular fácilmente  \(  ln(2)  \):

\[  ln  \dfrac{4}{2} = ln(2) = 2\cdot \left [ \frac{1}{3}+ \frac{1}{81}+\frac{1}{1215}+... \right ] = 0,693135     \]

Si \(  x=   \dfrac{1}{9} \) obtenemos

 \[  ln  \dfrac{5}{4} = 2\cdot \left [ \frac{1}{9}+ \frac{1}{2187}+\frac{1}{295245}+... \right ] = 0,223143    \]

Por tanto 

\[ ln(5)= ln (4 \cdot \dfrac{5}{4})= 2\cdot ln(2) + ln  \dfrac{5}{4} = 1,609413 \]

Finalmente:

\[log(5)=\dfrac{ln (5)}{ln (10)}= \dfrac{ln (5)}{ln (5)+ln(2)}= \dfrac{1,609413}{2,302548}=0,698970 \]

Para Euler, los logaritmos eran una de las herramientas principales del Análisis, aparecen una y otra vez a lo largo de su fructífera obra. Fue así como Euler encontró una relación entre los logaritmos y la serie armónica, y en este camino descubrió una de las constantes más omnipresentes de todas las matemáticas, la constante "gamma de Euler", ɣ.

La serie armónica \(   \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}     \) escondía tras su sencilla apariencia su carácter, la serie diverge hacia infinito. Este comportamiento era conocido mucho antes de que Euler naciera, lo había demostrado Jakob Bernoulli en Tractatus de seriebus infinitis.

Tractatus de seriebus infinitis (páginas 250, 251)

Euler se sintió atraido por la serie armónica y también realizó una demostración de la divergencia, en su Introductio. 

Parte de su expresión 

\[ ln (1-x) = - x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-... \]

haciendo  \(  x=1   \)

 \[ ln (0) = - (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-... )\]

Por tanto 

\[  \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}  = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-... = - ln(0)=ln(\frac{1}{0})=ln ( \infty) =  \infty  \] 

Queda demostrado.

Porque, Euler dice: "el logaritmo de un número infinito es infinito". 

Así Euler conecta la propiedad de la serie armónica con el logaritmo.

Decide profundizar...

Comienza tomando \( x=\frac{1}{n} \) que sustituye en la expresión de la serie obtenida por Newton:
\[  ln(1+ \frac{1}{n})= \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+\frac{1}{3n^{3}}-\frac{1}{4n^{4}}- ...   \]

Por tanto
\[ \frac{1}{n}= ln(  \frac{n+1}{n}) +\frac{1}{2n^{2}}-\frac{1}{3n^{3}}+\frac{1}{4n^{4}}-...    \]

Sustituye \( n=1, 2, 3, 4,... \) obteniendo:

\[ 1 = ln(2) + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}-... \]
\[ \frac{1}{2}=ln( \frac{3}{2})+ \frac{1}{8}-\frac{1}{24}+\frac{1}{64}-...     \]
\[\frac{1}{3}= ln(\frac{4}{3}) + \frac{1}{18}-\frac{1}{81}+\frac{1}{324}-...   \]

.............................................................

\[\frac{1}{n}=ln( \frac{n+1}{n}) +\frac{1}{2n^{2}}-\frac{1}{3n^{3}}+\frac{1}{4n^{4}}- ...\]

Sumando por columnas:

\[  \sum_{1}^{n }\frac{1}{k}  = ln(2) +ln( \frac{3}{2})+ ln(\frac{4}{3})+...+ln( \frac{n+1}{n})+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...  \]
Obtiene:
\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot \cdot \cdot\frac{n+1}{n})+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...\]
Es decir:
\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(n+1)+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...\]   

Euler calcula aproximadamente el resto de la serie que aparece en la expresión y obtiene la estimación: 0,577218.

\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(n+1)+0,577218  \]

En consecuencia, para un valor alto de n, la suma parcial de la serie armónica es la suma de un logaritmo más una constante, este número se representa por la letra griega ɣ.

 ɣ es conocida como constante de Euler, no confundir con el número de Euler \( e=2,7182... \)

Su definición exacta es \[   \gamma =\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}-ln(n+1) \right ]    \]

En la actulidad esta constante se define:
\[   \gamma =\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}-ln(n) \right ]    \]
lo que no supone ninguna diferencia, en cuanto a su valor como límite.

  \(  \gamma , \pi ,e\) aparecen por sorpresa en muchas cuestiones del Análisis superior.

\[  e^{\frac{\gamma }{2}}=\frac{\sqrt{2\pi }}{e}\prod_{1}^{n}e^{\frac{1-2n}{2n}}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}    \]
\[  \gamma=-\int_{0}^{\infty }e^{-x}\ln(x) \]

\[\gamma=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{n^{x}}-\frac{1}{x^{n}} \right ) \]

Finalmente, la relación entre la función Gamma \(\Gamma\) y \(\gamma \), siendo   \(\Gamma (n)= (n-1)!\):

\[\gamma =\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \frac{\Gamma (\frac{1}{n})\cdot \Gamma (n+1)\cdot n^{\frac{n+1}{n}}}{\Gamma (2+n+\frac{1}{n})}-\frac{n^{2}}{n+1}\right ] \]

A día de hoy sigue sin demostración su carácter irracional o racional. Es admitido universalmente que es un número irracional.

El geómetra italiano Mascheroni en su obra Adnotationes ad calculum integrale Euleri, calculó el valor de  ɣ con 32 decimales, unos años más tarde Johann Georg von Soldner dio a conocer una aproximación que difería de la de Mascheroni a partir de la vigésima cifra decimal. Algo tan desconcertante que Gauss encargó que un calculista infatigable, F.B.G. Nicolai, resolviera el conflicto numérico. Calculó ɣ  con 40 decimales, finalmente Soldner tenía razón y Mascheroni estaba equivocado. Pero el hecho de que hubiera calculado mal su valor no impidió que en la actualidad ɣ se conozca como la constante de Euler-Mascheroni, ello se debe a que fue Mascheroni quien bautizó a este enigmático número con el nombre ɣ.

En el año 2006 Alexander J. Yee calculó la constante de Euler-Mascheroni con más de 116 millones de cifras decimales...

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Fuentes

Euler, El maestro de todos los matemáticos (William Dunham)
Euler y la Teoría de números
Las funciones eulerianas Gamma y Beta complejas
Euler's Correspondence with Christian Goldbach 
The Euler Archive

Leonhard Euler y la función Gamma

Leonhard Euler (Basilea, 1707 - San Petersburgo, 1783)

Se atribuye el entusiasmo de Leonhard Euler por la Teoría de números a la influencia de Christian Goldbach, que estaba en la Academia de San Petersburgo en 1727 cuando Euler llegó. Poco después Goldbach se traslada a Moscú y desde allí intercambia correspondencia con Euler.

Precisamente, la función Gamma fue descubierta en 1729 entre la correspondencia de Leonhard Euler (que tenía 22 años) y Goldbach. Actualmente, la función Gamma aparece en múltiples ramas de las Matemáticas, desde la teoría de Ecuaciones diferenciales hasta la Estadística; pero su origen se encuentra en la confluencia de un problema de teoría de interpolación con otro de cálculo integral.

El problema de interpolación que dio vida a la función Gamma pasó por las manos de varios matemáticos de la época: Goldbach, Daniel Bernoulli y, antes que ellos, James Stirling, sin dar apenas frutos. 

Sin embargo, todo cambió cuando el asunto llegó hasta Euler. Anunció su solución a Goldbach en sendas cartas, datadas el 13 de octubre de 1729 y el 8 de enero de 1730. En la primera carta Euler alude al problema de interpolación, mientras que la segunda versa sobre el de integración y conecta ambos problemas. En realidad, Euler transmitió a Goldbach tan solo un esbozo de la solución, que no detallaría hasta un año más tarde en su artículo De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt. 

El problema planteado por Goldbach trataba de la sucesión: \(  \left \{ 1, 1\cdot 2,1\cdot 2\cdot 3,1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,... \right \} \) conocida como la sucesión de factoriales: 1!, 2!, 3!,.... ¿es posible obtener una fórmula sencilla para calcular factoriales?, ¿es posible interpolar entre dos factoriales?, ¿qué debería significar 5,5!? La solución de la interpolación factorial escapa del álgebra básica; se hace necesario el uso de procesos infinitos. 

Para apreciar mejor el problema al que se enfrentó Euler, vamos a actualizarlo a un lenguaje más accesible: se trataría de encontrar una función razonablemente simple que en cada entero 1, 2, 3,. . . tome como valor el factorial asociado 1, 2, 6,. . . . 

Así, dados los puntos (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24),... , el problema de interpolación consistiría en encontrar una curva que pase a través de todos esos puntos. En la época de Euler el concepto de función estaba asociado con una fórmula (expresión analítica), entendiendo como tal, cualquier expresión que pudiera ser deducida mediante manipulaciones elementales: sumas, productos, potencias, logaritmos, etc. En definitiva, la tarea de Euler consistía en encontrar una expresión analítica que para cada entero positivo tomara el valor del factorial correspondiente. 

 

 (Euler to Goldbach     13 October, 1729)

Aparentemente, mientras Euler experimentaba con productos infinitos de números, desembocó por casualidad en el siguiente resultado, si m es un entero positivo, entonces:

\[ \frac{1\cdot 2^{m}}{1+m}\cdot \frac{2^{1-m}\cdot 3^{m}}{2+m}\cdot \frac{3^{1-m}\cdot 4^{m}}{3+m}\cdot \frac{4^{1-m}\cdot 5^{m}}{4+m}\cdot \cdot \cdot = m!   \]

Operando resulta:
\[  \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n!\cdot \left ( n+1 \right )^{m}}{\left (1+m \right )\cdot \left (2+m \right )\cdot \cdot \cdot \cdot \left ( n+m \right )} = m! \]

 Para \(m =2\) , operando, obtenemos el límite:
\[   \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2\cdot (n+1))}{n+2}=2 =2! \]

Para \(m =3\):
 \[ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{6\cdot \left ( n+1 \right )^{2}}{\left ( n+2 \right )\cdot \left ( n+3 \right )}=6=3!  \]

Euler había resuelto el problema en el que fallaron ilustres matemáticos de su época.

Euler to Goldbach     13 October, 1729

Euler observó algunas propiedades de este producto. Para m entero el resultado era un número entero, mientras que para otros valores, por ejemplo \( m=\frac{1}{2} \) , proporcionaba una expresión que involucraba al número \( \pi =\frac{p}{d}\). La aparición de π le sugiere a Euler los círculos y sus cuadraturas, y las cuadraturas significan integrales.

Euler estaba familiarizado con ciertas integrales que cumplían propiedades similares a las mencionadas, lo que le indujo a buscar una transformación que le permitiera expresar el factorial como una integral.

Tomó entonces la integral \( \int_{0}^{1}x^{\alpha }\left ( 1-x \right )^{n}dx  \) .

Casos particulares de esta integral ya habían sido estudiados por Wallis, Newton y Stirling. Era una integral complicada de manejar, ya que el integrando no siempre admitía una primitiva elemental como función de x. Suponiendo que n es un número entero y α un valor arbitrario, Euler desarrolló \( \left ( 1-x \right )^{n}\) mediante el teorema binomial.

Y sin mucha dificultad encontró la siguiente identidad:
 \[   \int_{0}^{1}x^{\alpha }\left ( 1-x \right )^{n}dx  =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( \alpha +1 \right )\cdot \left ( \alpha +2 \right )\cdot \cdot \cdot \left ( \alpha +n+1 \right )} \]

La idea de Euler consistía ahora en aislar el numerador, n!, para  expresarlo como una integral.

El proceso para conseguirlo fue laborioso. Comienza suponiendo que \(α = \frac{a}{b}\). Obtiene, operando:
 \[  \int_{0}^{1}x^{\frac{a}{b}}\left ( 1-x \right )^{n}dx  =\frac{ b^{n+1}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )\cdot \left ( a+\left ( n+1 \right )b \right )} \]


Y despejando:
  \[  \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )}=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{b^{n+1}}\int_{0}^{1}x^{\frac{a}{b}}\cdot \left ( 1-x \right )^{n}dx \]

Sustituye \(x\) por  \(x^{\frac{b}{a+b}} \) y por tanto \( dx \) será \(\frac{b}{a+b}\cdot x^{\frac{-a}{a+b}}\cdot dx \), además \(x^{\frac{a}{b}}\) será \(x^{\frac{a}{a+b}}\).

Obtiene así: 
  \[   \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )}=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{b^{n+1}}\int \frac{b}{a+b }\cdot \left ( 1-x ^{\frac{b}{a+b}}\right )^{n}dx=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{\left (a+b  \right )^{n+1}}\int \frac{(a+b)^{n}}{b^{n} }\cdot \left ( 1-x ^{\frac{b}{a+b}}\right )^{n}dx \]

Euler observa que si a=1, b=0:
 \[ 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n= \int \frac{1}{0^{n}}\cdot \left ( 1-x^{0}\right )^{n}  dx=\int \left ( \frac{1-x^{0}}{0} \right )^{n}dx\ \]

Considera ahora que \(y\) es próximo a 0, y resuelve la indeterminación mediante L'Hôpital:

  \[ \frac{1-x^{0}}{0}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{1-x^{y}}{y}=\lim_{y\rightarrow 0}\dfrac{-x^{y}\cdot ln(x)dy}{dy}=\lim_{y\rightarrow 0}-x^{y}\cdot ln\left ( x \right )=-ln(x) \]

Así obtuvo lo que buscaba, la expresión de \(n! \) mediante una integral, que pudiera generalizarse a valores no naturales:
  \[ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n= \int_{0}^{1}\left ( -ln\left ( x \right ) \right )^{n}dx\]

Cronológicamente hablando, esto nos sitúa, aproximadamente, en el año 1750. La extensión de la función Gamma a los números negativos y posteriormente a los números complejos, se produjo a principios del siglo XIX y formó parte del desarrollo general de la Teoría de funciones de variable compleja que habría de configurar uno de los grandes capítulos de las Matemáticas.

El matemático francés Adrien-Marie Legendre, en 1809, denominó integral euleriana de primera especie, \( \beta \), a la integral con la que Euler inició su deducción del valor de \(n! \), que hoy conocemos como función Beta:
  \[  \beta \left ( m,n \right )= \int_{0}^{1}x^{m-1}\cdot \left ( 1-x \right )^{n-1}dx \]

Así mismo, Legendre denominó integral euleriana de segunda especie,  \( \Gamma \):
  \[  \Gamma\left ( x \right )=\int_{0}^{\infty }e^{-t}\cdot t^{x-1}dt \]

Verifica la relación de recurrencia:  \( \Gamma (x+1)= x\cdot \Gamma (x)  \), fácil de comprobar mediante integración por partes. Además \( \Gamma (1)= 1\), de todo esto se deduce que \( \Gamma (n+1)= n!\).

También, como Euler había comprobado:

 \[  \Gamma\left ( n+1 \right )= \int_{0}^{1}\left ( -ln\left ( x \right ) \right )^{n}dx = n! \]

En los años posteriores a Euler se estudiaron en profundidad las funciones Gamma y Beta, y su mágica relación:

\[  \beta \left ( m,n \right )=\frac{\Gamma \left ( m \right )\cdot \Gamma (n)}{\Gamma \left (m+n  \right )} \]

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Evolución histórica del Cálculo Diferencial e Integral

Eudoxo de Cnido (siglo IV a.C.) fue discípulo de Platón y el matemático más importante de la época helénica. Sus obras se perdieron y lo que conocemos es gracias a Euclides.

Podemos decir que Eudoxo es el padre del Cálculo integral, gracias a su método para comparar figuras curvilíneas y rectilíneas. Era conocido el método de inscribir y circunscribir figuras poligonales, pero no se razonaba el porqué de la aproximación de la línea poligonal a la curva, no se disponía de la idea de límite.

Fue Eudoxo el que formalizó esta idea en lo que hoy se conoce como método de exhausción o axioma de Arquímedes (aunque el propio Arquímedes reconoció que se debe a Eudoxo):

"Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad y si continuamos repitiendo este proceso de sustracción, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano."

En lenguaje moderno, Eudoxo decía:

\(  \lim_{n\rightarrow \infty} M (1-r)^{n}=0       \) siendo  \(  \frac{1}{2}\leqslant r< 1   \)

Nos tenemos que trasladar al siglo XIV para encontrar una figura de gran interés: Nicolás de Oresme (1323-1382). Fue el primero que concibe las coordenadas en el plano como las usamos hoy. Él las  denominaba latitud y longitud. Y daría un paso de gigante cuando representó "cómo varían las cosas" mediante una gráfica. La gráfica se refería a un cuerpo moviéndose con un movimiento uniformemente acelerado.

Oresme decía:

"Todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento rectilíneo."

 

Sobre la recta horizontal cosideraba los sucesivos instantes del tiempo (longitud) y para cada instante traza un segmento perpendicular (latitud), cuya medida representa la velocidad en ese instante.

Oresme percibió que si un cuerpo parte del reposo entonces la totalidad de los segmentos velocidad (ordenadas) cubren el área del triángulo. Y se da cuenta de que este área representa la distancia recorrida. Curiosamente, Oresme no nos explica por qué el área bajo la curva velocidad-tiempo representa el espacio recorrido. Hoy sabemos que estaba en lo cierto.

Es decir, Oresme percibió los fundamentos del cálculo infinitesimal:

    >>  manera en que varía una función, es decir, la ecuación diferencial de la curva.

    >>  manera en que varía el área bajo la curva, es decir, integral de la función.

En el siglo XVI, tanto Simon Stevin como Kepler y Galileo, necesitaron para sus problemas prácticos el método de exhausción (Eudoxo), pero querían evitar las sutilezas lógicas que provocaba. Fueron, en gran medida, las modificaciones de los antiguos métodos infinitesimales, las que condujeron al cálculo infinitesimal.

El hecho de que fueran ante todo físicos y astrónomos, y no tuvieran una formación matemática muy rigurosa, provocó que fuese Bonaventura Cavalieri, discípulo de Galileo, el que formalizase sus ideas sobre los infinitésimos. El teorema más importante de Cavalieri fue el equivalente de la igualdad moderna:

\(   \int_{0}^{a} x^{n}dx=\dfrac{a^{n+1}}{n+1}     \)

El razonamiento que siguió para deducirla fue muy distinto a nuestra forma de ver hoy.

Consideró un paralelogramo ACDF,  y los triángulos ACF, CDF. Toma el segmento HE como un "indivisible" del triángulo CDF, traza BC = EF, y la paralela BM a CD, resulta BM un "indivisible" de ACF. Deduce entonces Cavalieri que existe una relación biunívoca de los indivisibles de ambos triángulos. Las áreas de ambos triángulos (suma de indivisibles) son iguales. Y como el paralelogramo es la suma de todos los indivisibles de ambos triángulos, resulta que la suma de los segmentos "x" de un triángulo, \(   0\leqslant x\leqslant a     \), es la mitad de la suma de los segmentos "a" = AF en el paralelogramo.

\[  \int_{0}^{a}x dx = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{a} a dx = \dfrac{1}{2}a^{2}   \]

Utilizando un razonamiento considerablemente más complicado consigue demostrar Cavalieri que la suma de los cuadrados de los segmentos en el triángulo es igual a un tercio de la suma de los cuadrados de los segmentos en el paralelogramo. Para los cubos de los mismos segmentos halló que la razón era 1/4; extendió la demostración a potencias más altas, hasta considerarse autorizado a afirmar, en su obra Exercitationes geometricae sex (1647), la generalización a potencias n-ésimas de dichos segmentos.

En 1653 se reedita la Geometría indivisilibus de Cavalieri, pero para entonces los matemáticos franceses habían conseguido resultados notables que dejaban obsoleto el planteamiento geométrico tan laborioso de Cavalieri.

Pierre de Fermat es considerado el padre del Cálculo diferencial. Fue una pena que Fermat no publicase prácticamente nada en vida, él solo se consideraba un matemático aficionado.

En su trabajo "Método para hallar máximos y mínimos" (no publicado en vida), Fermat nos pone en contacto con un proceso que hoy conocemos como diferenciación.

Fermat explica: "en una función polinómica, si comparamos su valor en un cierto punto x, con el valor de la función en x+E, cuanto más pequeño sea el intervalo E entre ambos puntos, resultará que ambos valores \(  f\left ( x \right )  \) y \(  f\left ( x+E \right )  \) aunque no son exactamente iguales, están cerca de serlo."

\[  \frac{f\left ( x \right )}{E}=\frac{f\left ( x+E \right )}{E} \]

Fermat divide ambos valores por E, e imagina E= 0. De esa igualdad deduce el valor de las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica.

En lenguaje actual:  \[  \lim_{E \to 0 }\frac{f\left ( x+E \right )-f\left ( x \right )}{E}=0  \]

El procedimiento de Fermat consistente en cambiar ligeramente el valor de la variable para considerar valores próximos a uno dado, ha constituido desde entonces la verdadera esencia del análisis infinitesimal.

Fermat, trabajando en geometría analítica, descubrió cómo aplicar su procedimiento a una curva algebraica, \(   y= f\left ( x \right )     \), para hallar la tangente.

Sea P(a,b) punto sobre la curva en el que se desea hallar la tangente.
Sea \( P_{1}\left ( a+E,f\left ( a+E \right ) \right ) \) tan próximo a la tangente que podemos considerarlo situado sobre la tangente a la vez que sobre la curva, aproximadamente.
Consideremos la subtangente TQ, resultará que los triángulos \(TPQ \) y \(TP_{1} Q_{1} \) son semejantes, aproximadamente.

\[  \frac{f\left ( a \right )}{TQ}=\frac{f\left ( a+E \right )}{TQ+E} \]

A partir de esta igualdad y suponiendo que E=0, Fermat obtiene TQ, subtangente que determina unívocamente, junto con el punto P, la tangente buscada.

El método de Fermat equivale  a decir que la pendiente de la curva en P viene dada por:

\[  \lim_{E \to 0 }\frac{f\left ( a+E \right )-f\left ( a \right )}{E}  \]

A Fermat nunca se le reconoció el mérito que le correspondía, incluso Decartes puso en duda la validez de sus métodos.

Mersenne contribuyó a divulgar algunos de los resultados de Fermat en Francia e Italia, a través de correspondencia, e incluso incluyendo estos métodos en sus obras impresas.

Fermat no solo disponía de un método para hallar las tangentes a las curvas de la forma  \(  y=x^{n} \) sino que también descubrió un resultado relativo al área encerrada bajo estas curvas, esto también fue conocido y publicado por Cavalieri en 1647, la diferencia entre ambos es que Cavalieri usaba razonamientos geométricos de indivisibles y Fermat utilizó métodos numéricos.

Fermat observó que:

\(  1^{m}+ 2^{m}+ 3^{m}+...+ \left ( n-1 \right )^{m}< \frac{n^{m+1}}{m+1}< 1^{m}+2^{m}+3^{m}+...+n^{m} \)

de lo que deduce que el área encerrada bajo la curva  \(  n^{m}  \) es \(   \dfrac{n^{m+1}}{m+1}     \)

Estos fueron los inicios, más tarde Fermat desarrollaría un método más efectivo:

"Considero la curva \(   y= x^{n}     \), supongamos que deseo calcular el área encerrada bajo la curva entre los valores \( x=0 \), \(x=a \), para ello subdivido el intervalo [0, a] en una cantidad infinita de subintervalos tomando los puntos de abscisas: \( a, a\cdot r,a\cdot r^{2}, a\cdot r^{3},...    \) donde r es un número menor que 1. En estos puntos considero las ordenadas de los correspondientes puntos de la curva, aproximando el área bajo la curva por medio de rectángulos circunscritos."

Las áreas de los sucesivos rectángulos, empezando por el mayor, vienen dadas por los términos de la serie geométrica de razón \(   r^{n+1}  \):

\(  a^{n}\cdot \left ( a- a\cdot r\right )      \)
\(   \left ( a\cdot r \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r - a\cdot r^{2}\right )= a^{n}\cdot r^{n+1}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )     \)
\(    \left ( a\cdot r^{2} \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r^{2} - a\cdot r^{3}\right )= a^{n}\cdot r^{2\cdot (n+1)}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )    \)
\(  .......      \)

\( \left ( a\cdot r^{k} \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r^{k} - a\cdot r^{k+1}\right )= a^{n}\cdot r^{k\cdot (n+1)}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )  \)

La suma de la serie será:
\(  \dfrac{a^{n}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )}{1-r^{n+1}}= \dfrac{a^{n+1}}{1+r+r^{2}+r^{3}+...+r^{n}} \)

Según r se va acercando a 1, los rectángulos se hacen cada vez más estrechos, de manera que la suma de las áreas de esos rectángulos se aproxima cada vez más al área bajo la curva. Y si hacemos r =1, obtendremos que la suma de serie que nos da el área bajo la curva:

\(  \dfrac{a^{n+1}}{n+1}      \)

Fermat también probó, siguiendo este mismo razonamiento, que el método funcionaba con exponentes fraccionarios e incluso si son negativos.

Pero Fermat se encontró con un escollo, su método no funcionaba con \(   n= -1 \)

Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni (Gregoire de St Vincent)

 .
Fue Gregoire de St. Vincent el que estudió este singular y exótico caso:

"Si tomamos a lo largo del eje OX, puntos tales que los intervalos que determinan van creciendo en progresión geométrica, y si en dichos puntos levantamos las ordenadas correspondientes a la hipérbola  \( x\cdot y= 1  \), entonces las áreas bajo la curva, entre cada dos abscisas sucesivas, son iguales. Es decir, según crece la abscisa geométricamente, el área bajo la curva lo hace aritméticamente."

Gregoire estaba expresando, en lenguaje matemático actual:

\[   \int_{K}^{L}\frac{1}{x}dx=\int_{L}^{M} \frac{1}{x}dx   \]

De forma algo imprecisa Gregoire intuyó que se verificaba la propiedad geométrica-aritmética de los logaritmos. Hoy sabemos que:

\[  \int_{a}^{b}\frac{1}{x} dx= ln (b)- ln(a)\]

Pero aún faltaba que Evangelista Torricelli propusiera que el logaritmo tenía asociada una gráfica, porque hasta ese momento era un recurso de ayuda para el cálculo aritmético.

Fermat se interesó por muchos aspectos de lo que hoy llamamos analisis infinitesimal: tangentes, cuadraturas, longitudes de curvas,..., por lo tanto dificilmente pudo pasarle desapercibido que al hallar las tangentes de \(  k\cdot x^{n}   \) se multiplica el coeficiente por el exponente \( n  \) y la potencia de \( x \) quedaba disminuida en una unidad, y que sin embargo al hallar el área bajo  \( k\cdot x^{n} \) se eleva el exponente en una unidad y se divide el coeficiente por este nuevo exponente.

¿Pudo pasarle desapercibido que el problema de hallar las tangentes  y las cuadraturas eran inversos? Hoy se piensa que sí lo percibió pero no le pareció importante.

Evangelista Torricelli (1608-1647) fue uno de los matemáticos más prometedores del siglo XVII, que curiosamente es más recordado por la invención del barómetro.

Torricelli dominaba a la perfección los métodos de Fermat. Estuvo muy interesado en el estudio de las trayectorias parabólicas que siguen los proyectiles disparados desde un punto fijo. Fue precísamente al pasar de la ecuación de la distancia en función del tiempo, a la de la velocidad en función del tiempo, cuando Torricelli se da cuenta del carácter inverso de la determinación de tangentes y el problema de las cuadraturas.

Si hubiera vivido más, muere a los 39 años, probablemente él hubiera sido el creador del Cálculo diferencial.

Torricelli tuvo la gloria de haber representado la primera curva en la historia de la matemática, y escogió la función logaritmo \(  y= log (x)  \).

Blaise Pascal (1623-1662) fue otro matemático que murió prematuramente, y como Torricelli, estuvo casi a punto de crear el Cálculo diferencial.

Isaac Barrow (1630-1677) en 1664 fue nombrado primer profesor Lucasiano de geometría en la Universidad de Cambridge, cátedra que ocuparía en 1669 Isaac Newton, sucediendo a Barrow.

En 1668 se publica una edición revisada de Mesolabum de René de Sluze,  que incluía una sección dedicada a la resolución de problemas infinitesimales en la que aparecía un método para determinar máximos y mínimos.

MESOLABUM_René de Sluze

Así que Barrow decide ofrecer a través de la publicación de Lectiones geometricae (1670), en la que también participa Isaac Newton, una visión de los problemas de tangentes y cuadraturas hasta ese momento, incluyendo un tratamiento completo de los nuevos descubrimientos.

Barrow preferia las concepciones cinemáticas de Torricelli, consideraba las magnitudes geométricas como engendradas por un flujo continuo de puntos. Y aunque en principio prefiere los razonamientos de Cavalieri a los de Fermat, finalmente da un método de determinación de tangentes que es prácticamente idéntico al que usamos hoy en el Cálculo diferencial. El método de Barrow se parece al de Fermat, pero en él aparecen dos cantidades \(  a \) , \( e \) , en vez de la única cantidad E.

Barrow considera un punto P sobre la curva que es el punto de tangencia, se trata de hallar NM = t, subtangente. Imagina un arco de curva correspondiente a PQ infinitamente pequeño, siendo p la ordenada de P, y denomina a = QR , e = PR, lados del triángulo PQR.

Establece la semejanza de triángulos: \( \dfrac{a}{e}=\dfrac{p}{t}  \), en terminos actuales la pendiente vendría dada por \( \dfrac{a}{e} \).

Y procede de manera análoga a Fermat sustituyendo  \(  f(x,y)=0  \) por \(  f(x+e,y+a)=0 \), suprime los términos que no contengan "a" o "e", sustituye \(a \) por \(p \), \(e \) por \(t \). Quedando determinada \( t \) en términos de \( (x, p)  \), así que conocida la subtangente, conocemos la tangente.

Según todos los indicios Barrow no conocía directamente la obra de Fermat, porque no menciona su nombre, sin embargo cita como fuentes: Cavalieri, Huygens, Gregoire St. Vincent, James Gregory y Wallis. Así que es muy probable que llegara a conocer el método de Fermat a través de ellos. El propio Newton, que estaba en estrecho contacto con Barrow, reconoció que el método de Barrow era el de Fermat un poco mejorado.

De todos los matemáticos que anticiparon fragmentos del Cálculo diferencial e integral, ninguno se aproximó tanto como Barrow.

Barrow reconoció claramente el carácter inverso de los problemas relativos a tangentes y cuadraturas, pero su adhesión incondicional a los métodos geométricos, le impidió hacer un uso efectivo de esta relación.

Versión geométrica del Teorema Fundamental del Cálculo (Barrow)

Isaac Barrow: "para trazar una recta tangente a una curva, ésta última debe estar relacionada con la cuadratura de otra curva."

Barrow sabía que Newton estaba trabajando simultáneamente en los mismos problemas, así que le animó a publicar sus propios resultados. Y así fue.

 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)

La primera exposición del cálculo de Newton aparece en Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687). En el libro II, lema II, Newton ofrece esta críptica formulación:

"El momento de cualquier genitum es igual a los momentos de cada uno de sus lados generatrices multiplicados por los índices de las potencias de esos lados y por sus coeficientes de manera continua".

Newton entiende por genitum lo que hoy llamamos término, y por momento de un genitum entiende un incremento de él infinitamente pequeño.

Si representamos por \(a\) el momento de A y por \(b\) el momento de B, Newton demuestra que el momento de A·B es  \( a·B+b·A\) ; que el momento de \(  A^{n}  \) es \(  n\cdot a\cdot  A^{n-1}\), y que el momento de \( \dfrac{1}{A} \) es  \( \dfrac{-a}{A^{2}} \). Estas misteriosas expresiones resultaron ser equivalentes a las diferenciales de un producto, una potencia y un inverso. Esto explicaría por qué tan pocos matemáticos de la época llegaron a dominar el nuevo análisis con la terminología usada por Newton.

Newton no fue el primero en efectuar diferenciaciones e integraciones, ni tampoco el primero que observó las relaciones que existian entre ambas operaciones. A Newton, finalmente, se le considera el verdadero inventor del Cálculo, debido a que fue capaz de explotar con gran provecho, la relación inversa entre pendiente y área. Además de consolidarlo a través de un algoritmo general aplicable a todas las funciones algebraicas y trascendentes.

En la primera edición de los Principia ( Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) reconocía Newton que Leibniz estaba en posesión de un método análogo al suyo, pero en la tercera edición, en 1726, Newton suprimió esta referencia. Coincidiendo con la agria disputa entre los seguidores de ambos matemáticos acerca de la prioridad en el descubrimiento del Cálculo.

Actualmente está ya completamente claro  que el descubrimiento de Newton precedió al de Leibniz unos diez años, pero Leibniz hizo sus descubrientos independientemente de los de Newton, además a Leibniz le corresponde la prioridad en su publicación, en las Acta Eruditorum (1684), una revista científica mensual de la época.

G.W. Leibniz (1646-1716) nació en Leipzig, se doctoró en Derecho e ingresó en la carrera diplomática. En 1672 fue a París con la intención de desviar las intenciones conquistadoras de los franceses hacia Alemania, aconseja que Francia dirija una guerra santa contra Egipto. Leibniz tenía en mente una nueva cruzada contra el infiel. Esta vez, sin embargo, el objetivo no sería Jerusalén sino Egipto. La conquista de esa tierra antigua beneficiaría no solo a Francia sino a toda Europa. Traería paz intramuros entre las potencias occidentales y permitiría que los estados cristianos fortalecieran sus defensas contra el musulmán. Sugerencia que más tarde adoptaría Napoleón en 1798.

En París se encontró con Huygens, que le aconsejó que, si deseaba hacerse matemático, leyera los tratados de Blaise Pascal de 1658-1659.

En 1673 una misión política le lleva a Londres, donde compra un ejemplar de Lectiones geometricae de Barrow. Fue esta visita la que generaría dudas sobre si habría conocido los trabajos de Newton, en forma manuscrita, pero en esa época los conocimientos de Leibniz sobre geometría y análisis eran escasos, dificilmente le hubiera sacado provecho.

 máquina calculadora de Leibniz

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En 1676 Leibniz vuelve a Londres y lleva consigo su máquina calculadora. Leibniz se interesó por la lógica, por lo que significaba en cuanto a formalización del lenguaje y del pensamiento. Leibniz cree que puede crear un lenguaje universal. Concibe la idea de un lenguaje formalizado, combinación de signos, donde lo importante sería la manera de enlazarlos, de modo que una máquina sería capaz de proporcionar todos los teoremas y de manera que todas las controversias formales se pudieran zanjar mediante un simple cálculo.

Sin duda, la prematura muerte de Blaise Pascal, pionero en la comercialización de una máquina similar, la pascalina, y que Leibniz fuera el encargado de gestionar la herencia intelectual de Pascal habrán influido tanto en el desarrollo de la máquina de Leibniz como en el desarrollo del Cálculo diferencial e integral.

 

triángulo infinitesimal o característico (Pascal )

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Leibniz concentró su atención en la lectura de las obras de Pascal sobre la cicloide y otros aspectos del análisis infinitesimal. Fue al leer Traité des sinus du quart de cercle (Blaise Pascal), en particular al observar el triángulo infinitesimal o característico usado por Pascal en la cuadratura del seno, semejante al utilizado por Barrow en el trazado de tangentes, que Leibniz dice que "se hizo la luz" para él.

Leibniz se da cuenta de que la determinación de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas  estas diferencias; así como las cuadraturas dependen  de la suma de las ordenadas o de los rectángulos infinitamente estrechos que constituyen el área.

Leibniz en 1676 supo que estaba en posesión de un método general que era aplicable a todo tipo de funciones. La grandeza añadida de Leibniz fue que desarrolló un lenguaje y notación adecuados, que resultaron ser especialmente afortunados.

Después de varios ensayos decidió representar por \( dx \), \( dy  \)  las diferencias más pequeñas posibles (o diferenciales) de la \( x  \) y de la \( y \). Para representar la suma de las ordenadas bajo la curva utilizó el símbolo \( \int y       \) , posteriormente usará \( \int y ·dx      \) donde el signo integral es una esbelta s, inicial de la palabra suma.

ACTA ERUDITORUM 1684

La primera exposición del Cálculo diferencial de Leibniz ocurrió en octubre de 1684, Nova methodus pro maximis e minimis..., en las Acta Eruditorum.

ACTA ERUDITORUM 1686 

Dos años más tarde publica De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum, en las Acta Eruditorum 1686, una exposición del Cálculo integral, donde muestra que las cuadraturas son un caso especial del método inverso de las tangentes. Hace hincapié en la importancia de considerar las funciones trascendentes en el nuevo análisis, pues observa que si no las incluyéramos entonces no existirían las integrales de muchas funciones algebraicas. La eficacia de la notación de Leibniz y lo plausible de sus ideas provocaron una tendencia a aceptar mejor la idea de diferencial que la de fluxión de Newton.

Cálculo diferencial deriva de: calculus differentialis (cálculo de tangentes).
Cálculo integral deriva de: calculus summatorius o integralis.


Fuente Historia de la Matemática (Carl B. Boyer)
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