Eudoxo de Cnido (siglo IV a.C.) fue discípulo de Platón y el matemático más importante de la época helénica. Sus obras se perdieron y lo que conocemos es gracias a Euclides.
Podemos decir que Eudoxo es el padre del Cálculo integral, gracias a su método para comparar figuras curvilíneas y rectilíneas. Era conocido el método de inscribir y circunscribir figuras poligonales, pero no se razonaba el porqué de la aproximación de la línea poligonal a la curva, no se disponía de la idea de límite.
Fue Eudoxo el que formalizó esta idea en lo que hoy se conoce como método de exhausción o axioma de Arquímedes (aunque el propio Arquímedes reconoció que se debe a Eudoxo):
"Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad y si continuamos repitiendo este proceso de sustracción, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano."
En lenguaje moderno, Eudoxo decía:
\( \lim_{n\rightarrow \infty} M (1-r)^{n}=0 \) siendo \( \frac{1}{2}\leqslant r< 1 \)
Nos tenemos que trasladar al siglo XIV para encontrar una figura de gran interés: Nicolás de Oresme (1323-1382). Fue el primero que concibe las coordenadas en el plano como las usamos hoy. Él las denominaba latitud y longitud. Y daría un paso de gigante cuando representó "cómo varían las cosas" mediante una gráfica. La gráfica se refería a un cuerpo moviéndose con un movimiento uniformemente acelerado.
Oresme decía:
"Todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento rectilíneo."
Sobre
la recta horizontal cosideraba los sucesivos instantes del tiempo
(longitud) y para cada instante traza un segmento perpendicular
(latitud), cuya medida representa la velocidad en ese instante.
Oresme percibió que si un cuerpo parte del reposo entonces la totalidad de los segmentos velocidad (ordenadas) cubren el área del triángulo. Y se da cuenta de que este área representa la distancia recorrida. Curiosamente, Oresme no nos explica por qué el área bajo la curva
velocidad-tiempo representa el espacio recorrido. Hoy sabemos que estaba
en lo cierto.
Es decir, Oresme percibió los fundamentos del cálculo infinitesimal:
Es decir, Oresme percibió los fundamentos del cálculo infinitesimal:
>> manera en que varía una función, es decir, la ecuación diferencial de la curva.
>> manera en que varía el área bajo la curva, es decir, integral de la función.
En el siglo XVI, tanto Simon Stevin como Kepler y Galileo, necesitaron para sus problemas prácticos el método de exhausción (Eudoxo), pero querían evitar las sutilezas lógicas que provocaba. Fueron, en gran medida, las modificaciones de los antiguos métodos infinitesimales, las que condujeron al cálculo infinitesimal.
El hecho de que fueran ante todo físicos y astrónomos, y no tuvieran una formación matemática muy rigurosa, provocó que fuese Bonaventura Cavalieri, discípulo de Galileo, el que formalizase sus ideas sobre los infinitésimos. El teorema más importante de Cavalieri fue el equivalente de la igualdad moderna:
\( \int_{0}^{a} x^{n}dx=\dfrac{a^{n+1}}{n+1} \)
El razonamiento que siguió para deducirla fue muy distinto a nuestra forma de ver hoy.
Consideró
un paralelogramo ACDF, y los triángulos ACF, CDF. Toma el segmento HE
como un "indivisible" del triángulo CDF, traza BC = EF, y la paralela BM
a CD, resulta BM un "indivisible" de ACF. Deduce entonces Cavalieri que
existe una relación biunívoca de los indivisibles de ambos triángulos.
Las áreas de ambos triángulos (suma de indivisibles) son iguales. Y como
el paralelogramo es la suma de todos los indivisibles de ambos
triángulos, resulta que la suma de los segmentos "x" de un triángulo, \(
0\leqslant x\leqslant a \), es la mitad de la suma de los
segmentos "a" = AF en el paralelogramo.
\[ \int_{0}^{a}x dx = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{a} a dx = \dfrac{1}{2}a^{2} \]
Utilizando
un razonamiento considerablemente más complicado consigue demostrar
Cavalieri que la suma de los cuadrados de los segmentos en el triángulo
es igual a un tercio de la suma de los cuadrados de los segmentos en el
paralelogramo. Para los cubos de los mismos segmentos halló que la razón
era 1/4; extendió la demostración a potencias más altas, hasta
considerarse autorizado a afirmar, en su obra Exercitationes geometricae sex (1647), la generalización a potencias n-ésimas de dichos segmentos.
En 1653 se reedita la Geometría indivisilibus de
Cavalieri, pero para entonces los matemáticos franceses habían
conseguido resultados notables que dejaban obsoleto el planteamiento
geométrico tan laborioso de Cavalieri.
En su trabajo "Método para hallar máximos y mínimos" (no publicado en vida), Fermat nos pone en contacto con un proceso que hoy conocemos como diferenciación.
Fermat explica: "en una función polinómica, si comparamos su valor en un cierto punto x, con el valor de la función en x+E, cuanto más pequeño sea el intervalo E entre ambos puntos, resultará que ambos valores \( f\left ( x \right ) \) y \( f\left ( x+E \right ) \) aunque no son exactamente iguales, están cerca de serlo."
\[ \frac{f\left ( x \right )}{E}=\frac{f\left ( x+E \right )}{E} \]
Fermat divide ambos valores por E, e imagina E= 0. De esa igualdad deduce el valor de las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica.
En lenguaje actual: \[ \lim_{E \to 0 }\frac{f\left ( x+E \right )-f\left ( x \right )}{E}=0 \]
El procedimiento de Fermat consistente en cambiar ligeramente el valor de la variable para considerar valores próximos a uno dado, ha constituido desde entonces la verdadera esencia del análisis infinitesimal.
Fermat, trabajando en geometría analítica, descubrió cómo aplicar su procedimiento a una curva algebraica, \( y= f\left ( x \right ) \), para hallar la tangente.
Sea P(a,b) punto sobre la curva en el que se desea hallar la tangente.
Sea \( P_{1}\left ( a+E,f\left ( a+E \right ) \right ) \) tan próximo a la tangente que podemos considerarlo situado sobre la tangente a la vez que sobre la curva, aproximadamente.
Consideremos la subtangente TQ, resultará que los triángulos \(TPQ \) y \(TP_{1} Q_{1} \) son semejantes, aproximadamente.
\[ \frac{f\left ( a \right )}{TQ}=\frac{f\left ( a+E \right )}{TQ+E} \]
A partir de esta igualdad y suponiendo que E=0, Fermat obtiene TQ, subtangente que determina unívocamente, junto con el punto P, la tangente buscada.
El método de Fermat equivale a decir que la pendiente de la curva en P viene dada por:
\[ \lim_{E \to 0 }\frac{f\left ( a+E \right )-f\left ( a \right )}{E} \]
A Fermat nunca se le reconoció el mérito que le correspondía, incluso Decartes puso en duda la validez de sus métodos.
Mersenne contribuyó a divulgar algunos de los resultados de Fermat en Francia e Italia, a través de correspondencia, e incluso incluyendo estos métodos en sus obras impresas.
Fermat no solo disponía de un método para hallar las tangentes a las curvas de la forma \( y=x^{n} \) sino que también descubrió un resultado relativo al área encerrada bajo estas curvas, esto también fue conocido y publicado por Cavalieri en 1647, la diferencia entre ambos es que Cavalieri usaba razonamientos geométricos de indivisibles y Fermat utilizó métodos numéricos.
Fermat observó que:
\( 1^{m}+ 2^{m}+ 3^{m}+...+ \left ( n-1 \right )^{m}< \frac{n^{m+1}}{m+1}< 1^{m}+2^{m}+3^{m}+...+n^{m} \)
de lo que deduce que el área encerrada bajo la curva \( n^{m} \) es \( \dfrac{n^{m+1}}{m+1} \)
Estos fueron los inicios, más tarde Fermat desarrollaría un método más efectivo:
"Considero la curva \( y= x^{n} \), supongamos que deseo calcular el área encerrada bajo la curva entre los valores \( x=0 \), \(x=a \), para ello subdivido el intervalo [0, a] en una cantidad infinita de subintervalos tomando los puntos de abscisas: \( a, a\cdot r,a\cdot r^{2}, a\cdot r^{3},... \) donde r es un número menor que 1. En estos puntos considero las ordenadas de los correspondientes puntos de la curva, aproximando el área bajo la curva por medio de rectángulos circunscritos."
Las áreas de los sucesivos rectángulos, empezando por el mayor, vienen dadas por los términos de la serie geométrica de razón \( r^{n+1} \):
\( a^{n}\cdot \left ( a- a\cdot r\right ) \)
\( \left ( a\cdot r \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r - a\cdot r^{2}\right )= a^{n}\cdot r^{n+1}\cdot \left ( a-a\cdot r \right ) \)
\( \left ( a\cdot r^{2} \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r^{2} - a\cdot r^{3}\right )= a^{n}\cdot r^{2\cdot (n+1)}\cdot \left ( a-a\cdot r \right ) \)
\( ....... \)
\( \left ( a\cdot r^{k} \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r^{k} - a\cdot r^{k+1}\right )= a^{n}\cdot r^{k\cdot (n+1)}\cdot \left ( a-a\cdot r \right ) \)
La suma de la serie será:
\( \dfrac{a^{n}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )}{1-r^{n+1}}= \dfrac{a^{n+1}}{1+r+r^{2}+r^{3}+...+r^{n}} \)
Según r se va acercando a 1, los rectángulos se hacen cada vez más estrechos, de manera que la suma de las áreas de esos rectángulos se aproxima cada vez más al área bajo la curva. Y si hacemos r =1, obtendremos que la suma de serie que nos da el área bajo la curva:
\( \dfrac{a^{n+1}}{n+1} \)
Fermat también probó, siguiendo este mismo razonamiento, que el método funcionaba con exponentes fraccionarios e incluso si son negativos.
Pero Fermat se encontró con un escollo, su método no funcionaba con \( n= -1 \)
Fue Gregoire de St. Vincent el que estudió este singular y exótico caso:
"Si tomamos a lo largo del eje OX, puntos tales que los intervalos que determinan van creciendo en progresión geométrica, y si en dichos puntos levantamos las ordenadas correspondientes a la hipérbola \( x\cdot y= 1 \), entonces las áreas bajo la curva, entre cada dos abscisas sucesivas, son iguales. Es decir, según crece la abscisa geométricamente, el área bajo la curva lo hace aritméticamente."
Gregoire estaba expresando, en lenguaje matemático actual:
\[ \int_{K}^{L}\frac{1}{x}dx=\int_{L}^{M} \frac{1}{x}dx \]
De forma algo imprecisa Gregoire intuyó que se verificaba la propiedad geométrica-aritmética de los logaritmos. Hoy sabemos que:
\[ \int_{a}^{b}\frac{1}{x} dx= ln (b)- ln(a)\]
Fermat se interesó por muchos aspectos de lo que hoy llamamos analisis infinitesimal: tangentes, cuadraturas, longitudes de curvas,..., por lo tanto dificilmente pudo pasarle desapercibido que al hallar las tangentes de \( k\cdot x^{n} \) se multiplica el coeficiente por el exponente \( n \) y la potencia de \( x \) quedaba disminuida en una unidad, y que sin embargo al hallar el área bajo \( k\cdot x^{n} \) se eleva el exponente en una unidad y se divide el coeficiente por este nuevo exponente.
¿Pudo pasarle desapercibido que el problema de hallar las tangentes y las cuadraturas eran inversos? Hoy se piensa que sí lo percibió pero no le pareció importante.
Evangelista Torricelli (1608-1647) fue uno de los matemáticos más prometedores del siglo XVII, que curiosamente es más recordado por la invención del barómetro.
Torricelli dominaba a la perfección los métodos de Fermat. Estuvo muy interesado en el estudio de las trayectorias parabólicas que siguen los proyectiles disparados desde un punto fijo. Fue precísamente al pasar de la ecuación de la distancia en función del tiempo, a la de la velocidad en función del tiempo, cuando Torricelli se da cuenta del carácter inverso de la determinación de tangentes y el problema de las cuadraturas.
Si hubiera vivido más, muere a los 39 años, probablemente él hubiera sido el creador del Cálculo diferencial.
Torricelli tuvo la gloria de haber representado la primera curva en la historia de la matemática, y escogió la función logaritmo \( y= log (x) \).
Blaise Pascal (1623-1662) fue otro matemático que murió prematuramente, y como Torricelli, estuvo casi a punto de crear el Cálculo diferencial.
Isaac Barrow (1630-1677) en 1664 fue nombrado primer profesor Lucasiano de geometría en la Universidad de Cambridge, cátedra que ocuparía en 1669 Isaac Newton, sucediendo a Barrow.
En 1668 se publica una edición revisada de Mesolabum de René de Sluze, que incluía una sección dedicada a la resolución de problemas infinitesimales en la que aparecía un método para determinar máximos y mínimos.
Así que Barrow decide ofrecer a través de la publicación de Lectiones geometricae (1670), en la que también participa Isaac Newton, una visión de los problemas de tangentes y cuadraturas hasta ese momento, incluyendo un tratamiento completo de los nuevos descubrimientos.
Barrow preferia las concepciones cinemáticas de Torricelli, consideraba las magnitudes geométricas como engendradas por un flujo continuo de puntos. Y aunque en principio prefiere los razonamientos de Cavalieri a los de Fermat, finalmente da un método de determinación de tangentes que es prácticamente idéntico al que usamos hoy en el Cálculo diferencial. El método de Barrow se parece al de Fermat, pero en él aparecen dos cantidades \( a \) , \( e \) , en vez de la única cantidad E.
Barrow
considera un punto P sobre la curva que es el punto de tangencia, se
trata de hallar NM = t, subtangente. Imagina un arco de curva
correspondiente a PQ infinitamente pequeño, siendo p la ordenada de P, y
denomina a = QR , e = PR, lados del triángulo PQR.
Establece
la semejanza de triángulos: \( \dfrac{a}{e}=\dfrac{p}{t} \), en
terminos actuales la pendiente vendría dada por \( \dfrac{a}{e} \).
Y
procede de manera análoga a Fermat sustituyendo \( f(x,y)=0 \) por
\( f(x+e,y+a)=0 \), suprime los términos que no contengan "a" o "e",
sustituye \(a \) por \(p \), \(e \) por \(t \). Quedando determinada
\( t \) en términos de \( (x, p) \), así que conocida la subtangente,
conocemos la tangente.
Según
todos los indicios Barrow no conocía directamente la obra de Fermat,
porque no menciona su nombre, sin embargo cita como fuentes: Cavalieri, Huygens, Gregoire St. Vincent, James Gregory y Wallis.
Así que es muy probable que llegara a conocer el método de Fermat a
través de ellos. El propio Newton, que estaba en estrecho contacto con
Barrow, reconoció que el método de Barrow era el de Fermat un poco
mejorado.
De todos los matemáticos que anticiparon fragmentos del Cálculo diferencial e integral, ninguno se aproximó tanto como Barrow.
Barrow
reconoció claramente el carácter inverso de los problemas relativos a
tangentes y cuadraturas, pero su adhesión incondicional a los métodos
geométricos, le impidió hacer un uso efectivo de esta relación.
Isaac Barrow: "para trazar una recta tangente a una curva, ésta última debe estar relacionada con la cuadratura de otra curva."
Barrow sabía que Newton estaba trabajando simultáneamente en los mismos problemas, así que le animó a publicar sus propios resultados. Y así fue.
La primera exposición del cálculo de Newton aparece en Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687). En el libro II, lema II, Newton ofrece esta críptica formulación:
"El momento de cualquier genitum es igual a los momentos de cada uno de sus lados generatrices multiplicados por los índices de las potencias de esos lados y por sus coeficientes de manera continua".
Newton entiende por genitum lo que hoy llamamos término, y por momento de un genitum entiende un incremento de él infinitamente pequeño.
Si representamos por \(a\) el momento de A y por \(b\) el momento de B, Newton demuestra que el momento de A·B es \( a·B+b·A\) ; que el momento de \( A^{n} \) es \( n\cdot a\cdot A^{n-1}\), y que el momento de \( \dfrac{1}{A} \) es \( \dfrac{-a}{A^{2}} \). Estas misteriosas expresiones resultaron ser equivalentes a las diferenciales de un producto, una potencia y un inverso. Esto explicaría por qué tan pocos matemáticos de la época llegaron a dominar el nuevo análisis con la terminología usada por Newton.
Newton no fue el primero en efectuar diferenciaciones e integraciones, ni tampoco el primero que observó las relaciones que existian entre ambas operaciones. A Newton, finalmente, se le considera el verdadero inventor del Cálculo, debido a que fue capaz de explotar con gran provecho, la relación inversa entre pendiente y área. Además de consolidarlo a través de un algoritmo general aplicable a todas las funciones algebraicas y trascendentes.
En la primera edición de los Principia ( Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) reconocía Newton que Leibniz estaba en posesión de un método análogo al suyo, pero en la tercera edición, en 1726, Newton suprimió esta referencia. Coincidiendo con la agria disputa entre los seguidores de ambos matemáticos acerca de la prioridad en el descubrimiento del Cálculo.
Actualmente está ya completamente claro que el descubrimiento de Newton precedió al de Leibniz unos diez años, pero Leibniz hizo sus descubrientos independientemente de los de Newton, además a Leibniz le corresponde la prioridad en su publicación, en las Acta Eruditorum (1684), una revista científica mensual de la época.
G.W. Leibniz (1646-1716) nació en Leipzig, se doctoró en Derecho e ingresó en la carrera diplomática. En 1672 fue a París con la intención de desviar las intenciones conquistadoras de los franceses hacia Alemania, aconseja que Francia dirija una guerra santa contra Egipto. Leibniz tenía en mente una nueva cruzada contra el infiel. Esta vez, sin embargo, el objetivo no sería Jerusalén sino Egipto. La conquista de esa tierra antigua beneficiaría no solo a Francia sino a toda Europa. Traería paz intramuros entre las potencias occidentales y permitiría que los estados cristianos fortalecieran sus defensas contra el musulmán. Sugerencia que más tarde adoptaría Napoleón en 1798.
En París se encontró con Huygens, que le aconsejó que, si deseaba hacerse matemático, leyera los tratados de Blaise Pascal de 1658-1659.
En 1673 una misión política le lleva a Londres, donde compra un ejemplar de Lectiones geometricae de Barrow. Fue esta visita la que generaría dudas sobre si habría conocido los trabajos de Newton, en forma manuscrita, pero en esa época los conocimientos de Leibniz sobre geometría y análisis eran escasos, dificilmente le hubiera sacado provecho.
máquina calculadora de Leibniz
.
En 1676 Leibniz vuelve a Londres y lleva consigo su máquina calculadora.
Leibniz se interesó por la lógica, por lo que significaba en cuanto a
formalización del lenguaje y del pensamiento. Leibniz cree que puede
crear un lenguaje universal. Concibe la idea de un lenguaje formalizado,
combinación de signos, donde lo importante sería la manera de
enlazarlos, de modo que una máquina sería capaz de proporcionar todos
los teoremas y de manera que todas las controversias formales se
pudieran zanjar mediante un simple cálculo.
Sin duda, la prematura muerte de Blaise Pascal, pionero en la comercialización de una máquina similar, la pascalina, y que Leibniz fuera el encargado de gestionar la herencia intelectual de Pascal habrán influido tanto en el desarrollo de la máquina de Leibniz como en el desarrollo del Cálculo diferencial e integral.
Leibniz concentró su atención en la lectura de las obras de Pascal sobre la cicloide y otros aspectos del análisis infinitesimal. Fue al leer Traité des sinus du quart de cercle (Blaise Pascal), en particular al observar el triángulo infinitesimal o característico usado por Pascal en la cuadratura del seno, semejante al utilizado por Barrow en el trazado de tangentes, que Leibniz dice que "se hizo la luz" para él.
Leibniz se da cuenta de que la determinación de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias; así como las cuadraturas dependen de la suma de las ordenadas o de los rectángulos infinitamente estrechos que constituyen el área.
Leibniz en 1676 supo que estaba en posesión de un método general que era aplicable a todo tipo de funciones. La grandeza añadida de Leibniz fue que desarrolló un lenguaje y notación adecuados, que resultaron ser especialmente afortunados.
Después de varios ensayos decidió representar por \( dx \), \( dy \) las diferencias más pequeñas posibles (o diferenciales) de la \( x \) y de la \( y \). Para representar la suma de las ordenadas bajo la curva utilizó el símbolo \( \int y \) , posteriormente usará \( \int y ·dx \) donde el signo integral es una esbelta s, inicial de la palabra suma.
La primera exposición del Cálculo diferencial de Leibniz ocurrió en octubre de 1684, Nova methodus pro maximis e minimis..., en las Acta Eruditorum.
Dos años más tarde publica De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum, en las Acta Eruditorum 1686, una exposición del Cálculo integral,
donde muestra que las cuadraturas son un caso especial del método
inverso de las tangentes. Hace hincapié en la importancia de considerar
las funciones trascendentes en el nuevo análisis, pues observa que si no
las incluyéramos entonces no existirían las integrales de muchas
funciones algebraicas. La eficacia de la notación de Leibniz y lo
plausible de sus ideas provocaron una tendencia a aceptar mejor la idea
de diferencial que la de fluxión de Newton.
Cálculo diferencial deriva de: calculus differentialis (cálculo de tangentes).
Cálculo integral deriva de: calculus summatorius o integralis.
Fuente Historia de la Matemática (Carl B. Boyer)
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Sin duda, la prematura muerte de Blaise Pascal, pionero en la comercialización de una máquina similar, la pascalina, y que Leibniz fuera el encargado de gestionar la herencia intelectual de Pascal habrán influido tanto en el desarrollo de la máquina de Leibniz como en el desarrollo del Cálculo diferencial e integral.
triángulo infinitesimal o característico (Pascal )
.Leibniz concentró su atención en la lectura de las obras de Pascal sobre la cicloide y otros aspectos del análisis infinitesimal. Fue al leer Traité des sinus du quart de cercle (Blaise Pascal), en particular al observar el triángulo infinitesimal o característico usado por Pascal en la cuadratura del seno, semejante al utilizado por Barrow en el trazado de tangentes, que Leibniz dice que "se hizo la luz" para él.
Leibniz se da cuenta de que la determinación de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias; así como las cuadraturas dependen de la suma de las ordenadas o de los rectángulos infinitamente estrechos que constituyen el área.
Leibniz en 1676 supo que estaba en posesión de un método general que era aplicable a todo tipo de funciones. La grandeza añadida de Leibniz fue que desarrolló un lenguaje y notación adecuados, que resultaron ser especialmente afortunados.
Después de varios ensayos decidió representar por \( dx \), \( dy \) las diferencias más pequeñas posibles (o diferenciales) de la \( x \) y de la \( y \). Para representar la suma de las ordenadas bajo la curva utilizó el símbolo \( \int y \) , posteriormente usará \( \int y ·dx \) donde el signo integral es una esbelta s, inicial de la palabra suma.
Cálculo diferencial deriva de: calculus differentialis (cálculo de tangentes).
Cálculo integral deriva de: calculus summatorius o integralis.
Fuente Historia de la Matemática (Carl B. Boyer)
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