érase una vez Niels H. Abel y Evariste Galois: 2016

La definitiva aparición de los logaritmos en el siglo XVII se vio propiciada por la necesidad de simplificar los laboriosos cálculos aritméticos necesarios para elaborar las tablas de astronomía y las cartas de navegación, imprescindibles en los viajes oceánicos.

Los orígenes del descubrimiento de los logaritmos se remontan hasta Arquímedes, en la comparación de las progresiones aritméticas con las geométricas. Consideremos, por ejemplo, las siguientes progresiones:

A los números de la primera progresión, que es aritmética, los llamaremos logaritmos; a los de la segunda progresión (la de abajo), que es geométrica, los llamaremos antilogaritmos.

La regla de Arquímedes, dice que "para multiplicar entre sí dos números cualesquiera de la sucesión de abajo, debemos sumar los dos números de la sucesión de arriba situados encima de aquellos dos. Luego debe buscarse en la misma sucesión de arriba dicha suma. El número de la sucesión inferior que le corresponda debajo será el producto deseado".

http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasures-michael-stifels-arithmetica-integra

Esta comparación de dos sucesiones vuelve a aparecer en el siglo XVI, en los trabajos de un matemático alemán, Michaele Stifelio/ Michael Stifel (1487-1567), quien publicó en Nuremberg su "Arithmetica integra" en el año 1544. En esta obra se encuentra por primera vez el cálculo con potencias de exponente racional.

Michael Stifel: "La adición en la sucesión aritmética corresponde a la multiplicación en la geométrica, lo mismo que la sustracción en aquélla corresponde a la división en ésta. La simple multiplicación en la sucesión aritmética, corresponde a la multiplicación por sí mismo, potenciación, en la geométrica; y la división en la primera corresponde a la extracción de la raíz en la segunda, algo así como la división por dos, corresponde a la extracción de la raíz cuadrada".

Stifel da también la primera tabla de logaritmos que existe, aunque en forma muy rudimentaria. Contiene sólo los números enteros desde -3 hasta 6, y las correspondientes potencias de a=2:

A los números de la sucesión superior los denominó exponentes.

"El logaritmo de un número p en una cierta base a es el exponente al que debe elevarse la base a para obtener dicho número p. Análogamente, si m es el logaritmo de p en una base a, entonces p es el antilogaritmo de m en dicha base."

Las consecuencias que esto tuvo en el cálculo numérico fueron evidentes. Por ejemplo, si se tuviera que multiplicar 2 por 16, sólo se tendría que sumar los números de la sucesión aritmética que se hallan encima de éstos, es decir, 1 y 4, obteniéndose 5. Debajo de éste encontramos el número 32 de la sucesión geométrica, que es el resultado de la multiplicación.

Para efectuar una división se realiza una sustracción. Así, 256 dividido por 32, se efectúa 8 – 5 = 3, debajo del cual se ve el número 8, que es el resultado de la división.

La potenciación, llamada por Stifel "multiplicación por sí mismo", se efectúa por la suma "consigo mismo" del correspondiente número aritmético. Es decir, para hacer 4 al cubo se suma 2+2+2 = 6, y 64 es el correspondiente en la sucesión geométrica, lo que significa que este número es el cubo de 4.

La radicación se obtiene mediante la división. Así, la raíz cúbica de 64, se obtiene dividiendo al número 6, que es el correspondiente número aritmético de 64, por 3. Es decir, 6: 3 = 2, debajo del cual encontramos el 4.

Pero para hacer realmente aplicables los logaritmos al cálculo numérico, le faltaba a Stifel todavía un medio auxiliar importante, las fracciones decimales; y sólo cuando se popularizaron éstas, después del año 1600, surgió la posibilidad de construir verdaderas tablas logarítmicas.

http://www.maa.org/press/periodicals/convergence/mathematical-treasure-john-napier-s-mirifici-logarithmorum

Durante la última parte del siglo XVI, Dinamarca llegó a ser un importante centro de estudios sobre problemas relacionados con la navegación. Dos matemáticos daneses,Wittich y Clavius (cuya obra De Astrolabio se publicó en 1593), sugirieron la aplicación de las tablas trigonométricas para abreviar los cálculos, mediante el uso de las fórmulas del seno y del coseno de la suma de dos ángulos (prostafairesis). Este recurso de cálculo sirvió probablemente de inspiración al escocés John Napier (1550-1617), cuyo nombre latinizado es Neper, en la deducción de un método sencillo para multiplicar senos de ángulos por un proceso de adición directa.

El descubrimiento de Napier fue bien acogido por los astrónomos Tycho Brahe y Johann Kepler. En el año 1614 en Edimburgo aparece su Mirifici logarithmorum canonis descriptio, o “descripción de la maravillosa regla de los logaritmos”, es decir, las primeras tablas de logaritmos; sin embargo, no se describe aquí la forma en que fueron construidas. A inicios de 1619, dos años después de su muerte, aparece el procedimiento utilizado, bajo el título Mirifici logarithmorum canonis constructio, es decir, “construcción de la maravillosa regla de los logaritmos”.

Napier fue el inventor de la palabra logaritmo, del griego "logos" (razón) y "arithmos" (número): número de razones, pues en el caso de ser el logaritmo un número entero, es el número de factores que se toman de la razón dada (base) para obtener el antilogaritmo. Además, introdujo los logaritmos mediante una concepción cinemática, cuyo origen, según él se imaginaba, era un movimiento sincrónico, una especie de fluctuación entre dos sucesiones.

A continuación se describe esta concepción:

Sean un segmento AB y una semirrecta HF. Supongamos que los móviles c e i parten simultáneamente de A y H con la misma velocidad inicial y en dirección a B y F, respectivamente

Supongamos que el móvil c tiene una velocidad decreciente igual a la distancia que le falta por recorrer (y); además, el móvil i se desplaza con una velocidad uniforme igual a su velocidad inicial. Napier definió la longitud recorrida x como el logaritmo de y.

x=log y

En notación actual:

y= Velocidad de c = - dy/dt

Velocidad de c en A= Velocidad de i en H= dx/dt

Napier toma el valor

para la velocidad de c en A = longitud AB, con el objeto de eliminar la dificultad surgida al utilizar fracciones.

Si t = 0, y=AB, entonces

.

Por tanto:

Esto es:

La tabla de Napier no daba los logaritmos de la sucesión de los números naturales, sino de los valores de los senos de 0º a 90º; en ella, para obviar los números negativos y para que los términos de su progresión geométrica fueran potencias enteras muy próximas a un seno dado, eligió como razón un número próximo a la unidad, pero menor que ella: 0.9999999. En realidad, Napier no habla de base alguna. Existe la creencia general de que Napier ha sido el inventor de los logaritmos naturales, cuya base es el número e. Pero eso es falso, como hemos visto.

first few rows of Napier's logarithm table

El descubrimiento de los logaritmos es un claro ejemplo de lo habituales que resultan las duplicidades en las innovaciones. Hoy se sabe que el relojero y constructor de instrumentos suizo Jobst Bürgi (1552-1632), se hallaba en posesión de este conocimiento antes que Napier, incluso se afirma que concibió la idea del logaritmo ya en el año 1586, estimulado por las observaciones antes mencionadas de Stifel. Pero, según se dice, fue por falta de tiempo que no lo dio a conocer. Hubo que esperar hasta el año 1620 para que Bürgi publicara en Praga sus tablas logarítmicas bajo el título Arithmetische und geometrische Progress Tabulen. Estas tablas se publicaron en circunstancias históricas desfavorables, pues el 8 de noviembre de 1620 fue tomada Praga, y permanecieron desconocidas. Bürgi vió que el valor práctico de las sucesiones de Stifel es aplicable con provecho en el caso de que sus respectivos términos se aproximen uno al otro, lo más posible. A la vez observó que las propiedades logarítmicas no se extendían solamente sobre la sucesión de potencias de base dos, sino sobre sucesiones con cualquier razón racional q.

Fue Bürgi quien utilizó como base q, aunque él mismo no fuera consciente, el número:

que se aproximaba al verdadero valor de e = 2.718281828... Bürgi decía que 10·L era el número rojo correspondiente al número negro N.

Bürgi partió de una progresión aritmética de primer término 0 y diferencia 10 y último término 32000. Estos números, que serían nuestros logaritmos, los denomina números rojos. La progresión geométrica correspondiente empieza con el número 10 elevado a 8, y la razón (que elige, al igual que Napier, cercana a la unidad, para lograr de este modo que los sucesivos términos de la progresión geométrica difieran muy poco entre sí) es:

Estos serían sus números negros.

La tabla es de doble entrada, entrando con los números rojos, de manera que Bürgi construyó una tabla de antilogaritmos.

Para poder comprobar el "nacimiento" del número e en el sistema de Bürgi, debemos multiplicar a cada término de la progresión aritmética por 10 elevado a -5.

Si elegimos un término rojo, por ejemplo 10, y su correspondiente negro:

Operando

Por lo tanto

Las tablas de Napier, aparecidas en 1614, causaron un gran impacto en toda Europa, pero especialmente en Henry Briggs (1561-1630), profesor de geometría de Oxford. Briggs visitó a Napier en Edimburgo y, después de una discusión, llegaron a la conclusión de que el logaritmo de 1 debía ser igual a 0, mientras que el logaritmo de 10 debía ser igual a 1. Así nacen los logaritmos de "base vulgar" o logaritmos de Briggs. La tarea de construir la primera tabla de logaritmos en base 10 fue asumida por Briggs, puesto que Napier no poseía ya fuerzas para emprender un trabajo de esa envergadura.

En el año 1617, año de la muerte de Napier, Briggs publicó sus Logarithmorum chilias prima, que comprende los logaritmos de los números 1 a 1.000, con una precisión de 14 decimales. En 1624 en su obra Arithmetica logarithmica, ya aparece la palabra característica (parte entera). La palabra mantisa (parte decimal) fue utilizada por primera vez por Wallis en 1693.

Existen más de veinte obras sobre este tema publicadas entre 1614 y 1631, incluida una de Adriaan Vlacq y E. Decker, quienes en 1628 publicaron en Holanda los logaritmos desde 1 a 20.000, aproximados hasta 10 cifras decimales.

Edward Wright (1559-1615) publicó una traducción inglesa del tratado de Napier, aparecido en 1614, en la que se encuentran algunos logaritmos naturales. John Speidell, en una obra titulada New logarithmes, publicada en Londres en 1619, reajusta los logaritmos de Napier introduciendo, a partir de las funciones trigonométricas, los logaritmos naturales (de base e). El inventor de la "Regla de cálculo", William Oughtred, establece las propiedades:

http://locomat.loria.fr/briggs1617/briggs1617doc.pdf

¿Cómo construir una tabla de logaritmos en base 10?

MÉTODO DE CONSTRUCCIÓN DE LAS TABLAS DE BRIGGS

Briggs, al formar su tabla de logaritmos, escribió una sucesión aritmética cualquiera (logaritmos, columna izda) cuyo primer término era 1, y una sucesión geométrica (antilogaritmos, columna dcha) cuyo primer término era precisamente la razón o base de esta sucesión. Por ejemplo si la base es 10, y tenemos en cuenta que 1/8=0,125 1/4=0,250 ..... 3/4=0,750 7/8=0,875 obtenemos:

Extrayendo raíces de grado más elevado, podrán hacerse tan pequeños como se desee los intervalos entre los números de la columna de la izquierda (logaritmos).

También era conocida la propiedad por la cual si tomamos tres números consecutivos cualesquiera a, b y c de una sucesión aritmética el segundo de ellos es la media aritmética de los otros. Análogamente, dados tres números consecutivos cualesquiera A, B, C de una sucesión geométrica, el segundo de ellos es la media geométrica de los otros dos.

Utilizando esta propiedad, Briggs convirtió una tabla de antilogaritmos (o sea, que tiene los logaritmos a intervalos regulares, en la columna de la derecha), en una tabla de logaritmos (que tiene los antilogaritmos a intervalos regulares, en la columna de la izquierda). Se evidencia la laboriosidad de hombres como Briggs y Vlacq, que calcularon sus logaritmos con 14 y 10 cifras decimales exactas, respectivamente.

DIFUSIÓN DE LOS LOGARITMOS EN ESPAÑA

El humanista gallego Vicente Vázquez Queipo (Samos, 1804 – Madrid, 1893) fue el gran difusor de los logaritmos en España a mediados del siglo XIX. Estaba convencido de que si se familiarizaba a los jóvenes con el uso de los logaritmos, su manejo les sería "tan ventajoso como expedito en el resto de sus vidas".

A partir de 1670 los logaritmos empezaron a formar parte de los tratados de matemáticas. El jesuita valenciano Bernardo José Zaragoza incluyó la primera tabla de logaritmos, aparecida en España, entre las páginas de su Trigonometría española (1663).

Vázquez Queipo publica sus primeras tablas de logaritmos en 1853. Se decantó por tablas de doble entrada. En las sucesivas ediciones no escamoteó los medios para mejorar las tablas, se preocupó de que estuvieran recogidas en volúmenes pequeños, de fácil manejo, y que estuvieran dispuestas de forma que los alumnos no perdiesen tiempo, ni incurrieran en errores al realizar su búsqueda de logaritmos. A pesar de su elevado coste, no dudó en emplear las últimas tecnologías tipográficas e importó de Inglaterra la maquinaria necesaria para obtener una buena impresión de sus tablas.

En 1855 publica la segunda edición. La obra se difundió con rapidez y el Consejo de Instrucción Pública la declaró obra de texto en los centros de enseñanza españoles.

Las dieciseis primeras ediciones de las tablas abarcaban el cálculo de los logaritmos de los números enteros desde el uno hasta el once mil. En la edición número 17 aparecida en 1873 amplió el cálculo hasta el número 20 000.

En 1872 publicó en París la primera versión francesa de sus tablas.

A Vázquez Queipo le preocupó que su obra fuera reproducida sin su consentimiento y así lo manifestaba. Por esa razón había adquirido en Francia la propiedad de su traducción, con el objeto de evitar que otros las imprimieran y las introdujeran en España.

En 1890 llevaba vendidos 100 000 ejemplares.

Vázquez Queipo fallece en 1893, dejando a su hijo Antonio Vázquez Queipo como albacea y encargado de las futuras impresiones de las tablas. Sus sucesivos herederos se fueron pasando el testigo hasta los años 80 del siglo XX. La edición 27 corresponde al año 1936, la edición 28 llegará finalizada la guerra civil española, en 1940. La edición 45 aparece en 1974.

Con la llegada de los ordenadores y calculadoras en el último tercio del siglo XX, la desaparición de las tablas de Vázquez Queipo se hizo realidad. En 1992 desaparecieron de manera definitiva los últimos ejemplares.

Fuente: Historia de los logaritmos y de su difusión en España por Vicente Vázquez Queipo (autoras: Inés Roldán de Montaud y Mercedes Sampayo Yáñez, La Gaceta de la RSME)

EL NÚMERO "e"

La herrramienta de cálculo de los logaritmos estuvo a punto de "encontrar" y definir el número e, finalmente no fue así, ya que eso implicaba el cálculo de un límite:

En 1647, Saint-Vincent calculó el área bajo la hipérbola equilátera. Si reconoció la conexión con los logaritmos neperianos y el número e es una cuestión abierta a debate. Quien sí comprendió la relación entre la hipérbola equilátera y el logaritmo fue Huygens (1661), al estudiar el problema del área bajo la curva y=1/x

El número e es aquel valor de la abscisa tal que el área bajo la hipérbola a partir de x=1 es igual a 1.
Esta es la propiedad que define al número e como base de los logaritmos neperianos, si bien no era comprendida del todo por los matemáticos de la época.

Fue Jacob Bernoulli en 1683 quien descubre el número e cuando estudiaba un problema de interés compuesto.

D dinero inicial invertido
t tasa de interés anual
k número de años

Bernoulli se planteó calcular el capital, en un caso muy particular, cuando el interés anual pudiera ser repartido en n períodos durante "a" años:

Y si además el interés t fuera el 100% y a=1 año , el factor se convierte en:

Si los períodos son cada vez más cortos, es decir, n cada vez más grande, llegamos al concepto de interés compuesto continuo. Bernoulli demostró que ese límite era mayor que 2 y menor que 3.

Se puede considerar la primera aproximación encontrada para el número e. Y la primera vez que un número se define como un límite. Bernoulli no reconoció ninguna conexión entre su trabajo y los logaritmos.

Euler (1707-1783) fue quien le puso el nombre de número e.

Euler, en 1748, en su obra Introductio in analysis infinitorum, definió la función exponencial y el logaritmo natural de manera simétrica:

Obtuvo la serie de potencias de la función exponencial, mediante el teorema binomial:

Y obtuvo la relación de esta función y las funciones seno y coseno, fórmula de Euler.

Calculó dieciocho cifras decimales exactas para el numero e: e = 2.718281828459045235

Las dieciocho cifras decimales se obtienen tomando veinte términos de la serie de potencias de la función exponencial, en x=1.