La constante ɣ de Euler

En 1748 Leonhard Euler publica Introductio in Analysin Infinitorum en dos volúmenes (E101, E102).

La Introductio de Euler resultó trascendente, afectando a las matemáticas posteriores en contenido, estilo y notación. Euler da una definición exacta de función que difiere algo del concepto moderno:

"Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier forma, cualesquiera que sean la cantidad variable y las cantidades constantes".

 Pero Euler fue más allá de dar esa definición, destacó aquellas funciones que han sido utilizadas como los bloques esenciales para construir el Análisis: polinómicas, trigonométricas, exponenciales y la función logaritmo.

Fue Euler el primero que entiende la función logaritmo como la inversa de una función exponencial y no un mero instrumento de cálculo.

Es importante recalcar que las tablas de logaritmos habían aparecido un siglo antes de que Euler naciera. Una tabla de logaritmos fue, desde esa época hasta mediados del siglo XX, lo que las calculadoras y el ordenador son en la época moderna: un gran invento para ahorrar tiempo en los cálculos tediosos. Transformaban la multiplicación y la divisón en simple adicción o sustracción.

El término logaritmo fue acuñado por Napier en el siglo XVII. Henry Briggs, profesor de geometría en Oxford, visitó a Napier en Edimburgo y después de discutirlo, llegaron a la conclusión de que el logaritmo de 1 debía ser igual a 0, mientras que el logaritmo de 10 debía ser igual a 1. Así nacen los logaritmos de "base vulgar" o logaritmos de Briggs. 

La tarea de construir la primera tabla de logaritmos en base 10 fue asumida por Briggs, fue una labor tediosa que la siguiente generación de matemáticos mejoraría usando series infinitas. Los primeros pasos en el nuevo cálculo logarítmico fueron dados por Gregoire de Saint Vicent, quien sugirió que existía relación entre los logaritmos y el área bajo un segmento de hipérbola.

  Ahora sabemos que el área bajo un segmento de hipérbola viene dado por el logaritmo natural.

 \[   \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\cdot dt= ln (x)   \]

Serán Mercator y Newton quienes aproximarán estas áreas hiperbólicas mediante series, y por tanto los logaritmos.

Newton obtuvo que:

\[ ln(1+x)= \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\cdot dt=\int_{0}^{x} (1-t+t^{2}-t^{3}+...)= x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-...     \]

Euler conoció los métodos de Newton y Mercator para aproximar valores de logaritmos mediante series, y lo mejoró. Euler observó que esa serie no aproximaba los logaritmos con la eficiencia deseada. Así que realiza un cambio, sustituye \(x\)  por \( -x \) : 

\[ ln (1-x) = - x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-... \]

Restando ambas expresiones obtuvo:

 \[ ln(1+x) - ln (1-x) = 2x+ \frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}+...\]

\[  ln\frac{1+x}{1-x}=2\cdot \left [x+ \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+... \right ]    \]

Euler afirmó que esta serie era fuertemente convergente para valores pequeños de x y que transformaría el cálculo de logaritmos decimales en una labor sencilla. Fue Euler el que, además, había demostrado la "regla de oro de los logaritmos", es decir, la relación entre logaritmos de distintas bases:  \(  \log_{10}(b) = \dfrac{ln (b)}{ln (10)} \).

Así, si  \(  x=   \dfrac{1}{3}   \), se podría calcular fácilmente  \(  ln(2)  \):

\[  ln  \dfrac{4}{2} = ln(2) = 2\cdot \left [ \frac{1}{3}+ \frac{1}{81}+\frac{1}{1215}+... \right ] = 0,693135     \]

Si \(  x=   \dfrac{1}{9} \) obtenemos

 \[  ln  \dfrac{5}{4} = 2\cdot \left [ \frac{1}{9}+ \frac{1}{2187}+\frac{1}{295245}+... \right ] = 0,223143    \]

Por tanto 

\[ ln(5)= ln (4 \cdot \dfrac{5}{4})= 2\cdot ln(2) + ln  \dfrac{5}{4} = 1,609413 \]

Finalmente:

\[log(5)=\dfrac{ln (5)}{ln (10)}= \dfrac{ln (5)}{ln (5)+ln(2)}= \dfrac{1,609413}{2,302548}=0,698970 \]

Para Euler, los logaritmos eran una de las herramientas principales del Análisis, aparecen una y otra vez a lo largo de su fructífera obra. Fue así como Euler encontró una relación entre los logaritmos y la serie armónica, y en este camino descubrió una de las constantes más omnipresentes de todas las matemáticas, la constante "gamma de Euler", ɣ.

La serie armónica \(   \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}     \) escondía tras su sencilla apariencia su carácter, la serie diverge hacia infinito. Este comportamiento era conocido mucho antes de que Euler naciera, lo había demostrado Jakob Bernoulli en Tractatus de seriebus infinitis.

Tractatus de seriebus infinitis (páginas 250, 251)

Euler se sintió atraido por la serie armónica y también realizó una demostración de la divergencia, en su Introductio. 

Parte de su expresión 

\[ ln (1-x) = - x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-... \]

haciendo  \(  x=1   \)

 \[ ln (0) = - (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-... )\]

Por tanto 

\[  \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}  = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-... = - ln(0)=ln(\frac{1}{0})=ln ( \infty) =  \infty  \] 

Queda demostrado.

Porque, Euler dice: "el logaritmo de un número infinito es infinito". 

Así Euler conecta la propiedad de la serie armónica con el logaritmo.

Decide profundizar...

Comienza tomando \( x=\frac{1}{n} \) que sustituye en la expresión de la serie obtenida por Newton:
\[  ln(1+ \frac{1}{n})= \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+\frac{1}{3n^{3}}-\frac{1}{4n^{4}}- ...   \]

Por tanto
\[ \frac{1}{n}= ln(  \frac{n+1}{n}) +\frac{1}{2n^{2}}-\frac{1}{3n^{3}}+\frac{1}{4n^{4}}-...    \]

Sustituye \( n=1, 2, 3, 4,... \) obteniendo:

\[ 1 = ln(2) + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}-... \]
\[ \frac{1}{2}=ln( \frac{3}{2})+ \frac{1}{8}-\frac{1}{24}+\frac{1}{64}-...     \]
\[\frac{1}{3}= ln(\frac{4}{3}) + \frac{1}{18}-\frac{1}{81}+\frac{1}{324}-...   \]

.............................................................

\[\frac{1}{n}=ln( \frac{n+1}{n}) +\frac{1}{2n^{2}}-\frac{1}{3n^{3}}+\frac{1}{4n^{4}}- ...\]

Sumando por columnas:

\[  \sum_{1}^{n }\frac{1}{k}  = ln(2) +ln( \frac{3}{2})+ ln(\frac{4}{3})+...+ln( \frac{n+1}{n})+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...  \]
Obtiene:
\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot \cdot \cdot\frac{n+1}{n})+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...\]
Es decir:
\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(n+1)+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...\]   

Euler calcula aproximadamente el resto de la serie que aparece en la expresión y obtiene la estimación: 0,577218.

\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(n+1)+0,577218  \]

En consecuencia, para un valor alto de n, la suma parcial de la serie armónica es la suma de un logaritmo más una constante, este número se representa por la letra griega ɣ.

 ɣ es conocida como constante de Euler, no confundir con el número de Euler \( e=2,7182... \)

Su definición exacta es \[   \gamma =\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}-ln(n+1) \right ]    \]

En la actulidad esta constante se define:
\[   \gamma =\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}-ln(n) \right ]    \]
lo que no supone ninguna diferencia, en cuanto a su valor como límite.

  \(  \gamma , \pi ,e\) aparecen por sorpresa en muchas cuestiones del Análisis superior.

\[  e^{\frac{\gamma }{2}}=\frac{\sqrt{2\pi }}{e}\prod_{1}^{n}e^{\frac{1-2n}{2n}}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}    \]
\[  \gamma=-\int_{0}^{\infty }e^{-x}\ln(x) \]

\[\gamma=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{n^{x}}-\frac{1}{x^{n}} \right ) \]

Finalmente, la relación entre la función Gamma \(\Gamma\) y \(\gamma \), siendo   \(\Gamma (n)= (n-1)!\):

\[\gamma =\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \frac{\Gamma (\frac{1}{n})\cdot \Gamma (n+1)\cdot n^{\frac{n+1}{n}}}{\Gamma (2+n+\frac{1}{n})}-\frac{n^{2}}{n+1}\right ] \]

A día de hoy sigue sin demostración su carácter irracional o racional. Es admitido universalmente que es un número irracional.

El geómetra italiano Mascheroni en su obra Adnotationes ad calculum integrale Euleri, calculó el valor de  ɣ con 32 decimales, unos años más tarde Johann Georg von Soldner dio a conocer una aproximación que difería de la de Mascheroni a partir de la vigésima cifra decimal. Algo tan desconcertante que Gauss encargó que un calculista infatigable, F.B.G. Nicolai, resolviera el conflicto numérico. Calculó ɣ  con 40 decimales, finalmente Soldner tenía razón y Mascheroni estaba equivocado. Pero el hecho de que hubiera calculado mal su valor no impidió que en la actualidad ɣ se conozca como la constante de Euler-Mascheroni, ello se debe a que fue Mascheroni quien bautizó a este enigmático número con el nombre ɣ.

En el año 2006 Alexander J. Yee calculó la constante de Euler-Mascheroni con más de 116 millones de cifras decimales...

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Fuentes

Euler, El maestro de todos los matemáticos (William Dunham)
Euler y la Teoría de números
Las funciones eulerianas Gamma y Beta complejas
Euler's Correspondence with Christian Goldbach 
The Euler Archive

Leonhard Euler y la función Gamma

Leonhard Euler (Basilea, 1707 - San Petersburgo, 1783)

Se atribuye el entusiasmo de Leonhard Euler por la Teoría de números a la influencia de Christian Goldbach, que estaba en la Academia de San Petersburgo en 1727 cuando Euler llegó. Poco después Goldbach se traslada a Moscú y desde allí intercambia correspondencia con Euler.

Precisamente, la función Gamma fue descubierta en 1729 entre la correspondencia de Leonhard Euler (que tenía 22 años) y Goldbach. Actualmente, la función Gamma aparece en múltiples ramas de las Matemáticas, desde la teoría de Ecuaciones diferenciales hasta la Estadística; pero su origen se encuentra en la confluencia de un problema de teoría de interpolación con otro de cálculo integral.

El problema de interpolación que dio vida a la función Gamma pasó por las manos de varios matemáticos de la época: Goldbach, Daniel Bernoulli y, antes que ellos, James Stirling, sin dar apenas frutos. 

Sin embargo, todo cambió cuando el asunto llegó hasta Euler. Anunció su solución a Goldbach en sendas cartas, datadas el 13 de octubre de 1729 y el 8 de enero de 1730. En la primera carta Euler alude al problema de interpolación, mientras que la segunda versa sobre el de integración y conecta ambos problemas. En realidad, Euler transmitió a Goldbach tan solo un esbozo de la solución, que no detallaría hasta un año más tarde en su artículo De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt. 

El problema planteado por Goldbach trataba de la sucesión: \(  \left \{ 1, 1\cdot 2,1\cdot 2\cdot 3,1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,... \right \} \) conocida como la sucesión de factoriales: 1!, 2!, 3!,.... ¿es posible obtener una fórmula sencilla para calcular factoriales?, ¿es posible interpolar entre dos factoriales?, ¿qué debería significar 5,5!? La solución de la interpolación factorial escapa del álgebra básica; se hace necesario el uso de procesos infinitos. 

Para apreciar mejor el problema al que se enfrentó Euler, vamos a actualizarlo a un lenguaje más accesible: se trataría de encontrar una función razonablemente simple que en cada entero 1, 2, 3,. . . tome como valor el factorial asociado 1, 2, 6,. . . . 

Así, dados los puntos (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24),... , el problema de interpolación consistiría en encontrar una curva que pase a través de todos esos puntos. En la época de Euler el concepto de función estaba asociado con una fórmula (expresión analítica), entendiendo como tal, cualquier expresión que pudiera ser deducida mediante manipulaciones elementales: sumas, productos, potencias, logaritmos, etc. En definitiva, la tarea de Euler consistía en encontrar una expresión analítica que para cada entero positivo tomara el valor del factorial correspondiente. 

 

 (Euler to Goldbach     13 October, 1729)

Aparentemente, mientras Euler experimentaba con productos infinitos de números, desembocó por casualidad en el siguiente resultado, si m es un entero positivo, entonces:

\[ \frac{1\cdot 2^{m}}{1+m}\cdot \frac{2^{1-m}\cdot 3^{m}}{2+m}\cdot \frac{3^{1-m}\cdot 4^{m}}{3+m}\cdot \frac{4^{1-m}\cdot 5^{m}}{4+m}\cdot \cdot \cdot = m!   \]

Operando resulta:
\[  \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n!\cdot \left ( n+1 \right )^{m}}{\left (1+m \right )\cdot \left (2+m \right )\cdot \cdot \cdot \cdot \left ( n+m \right )} = m! \]

 Para \(m =2\) , operando, obtenemos el límite:
\[   \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2\cdot (n+1))}{n+2}=2 =2! \]

Para \(m =3\):
 \[ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{6\cdot \left ( n+1 \right )^{2}}{\left ( n+2 \right )\cdot \left ( n+3 \right )}=6=3!  \]

Euler había resuelto el problema en el que fallaron ilustres matemáticos de su época.

Euler to Goldbach     13 October, 1729

Euler observó algunas propiedades de este producto. Para m entero el resultado era un número entero, mientras que para otros valores, por ejemplo \( m=\frac{1}{2} \) , proporcionaba una expresión que involucraba al número \( \pi =\frac{p}{d}\). La aparición de π le sugiere a Euler los círculos y sus cuadraturas, y las cuadraturas significan integrales.

Euler estaba familiarizado con ciertas integrales que cumplían propiedades similares a las mencionadas, lo que le indujo a buscar una transformación que le permitiera expresar el factorial como una integral.

Tomó entonces la integral \( \int_{0}^{1}x^{\alpha }\left ( 1-x \right )^{n}dx  \) .

Casos particulares de esta integral ya habían sido estudiados por Wallis, Newton y Stirling. Era una integral complicada de manejar, ya que el integrando no siempre admitía una primitiva elemental como función de x. Suponiendo que n es un número entero y α un valor arbitrario, Euler desarrolló \( \left ( 1-x \right )^{n}\) mediante el teorema binomial.

Y sin mucha dificultad encontró la siguiente identidad:
 \[   \int_{0}^{1}x^{\alpha }\left ( 1-x \right )^{n}dx  =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( \alpha +1 \right )\cdot \left ( \alpha +2 \right )\cdot \cdot \cdot \left ( \alpha +n+1 \right )} \]

La idea de Euler consistía ahora en aislar el numerador, n!, para  expresarlo como una integral.

El proceso para conseguirlo fue laborioso. Comienza suponiendo que \(α = \frac{a}{b}\). Obtiene, operando:
 \[  \int_{0}^{1}x^{\frac{a}{b}}\left ( 1-x \right )^{n}dx  =\frac{ b^{n+1}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )\cdot \left ( a+\left ( n+1 \right )b \right )} \]


Y despejando:
  \[  \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )}=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{b^{n+1}}\int_{0}^{1}x^{\frac{a}{b}}\cdot \left ( 1-x \right )^{n}dx \]

Sustituye \(x\) por  \(x^{\frac{b}{a+b}} \) y por tanto \( dx \) será \(\frac{b}{a+b}\cdot x^{\frac{-a}{a+b}}\cdot dx \), además \(x^{\frac{a}{b}}\) será \(x^{\frac{a}{a+b}}\).

Obtiene así: 
  \[   \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )}=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{b^{n+1}}\int \frac{b}{a+b }\cdot \left ( 1-x ^{\frac{b}{a+b}}\right )^{n}dx=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{\left (a+b  \right )^{n+1}}\int \frac{(a+b)^{n}}{b^{n} }\cdot \left ( 1-x ^{\frac{b}{a+b}}\right )^{n}dx \]

Euler observa que si a=1, b=0:
 \[ 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n= \int \frac{1}{0^{n}}\cdot \left ( 1-x^{0}\right )^{n}  dx=\int \left ( \frac{1-x^{0}}{0} \right )^{n}dx\ \]

Considera ahora que \(y\) es próximo a 0, y resuelve la indeterminación mediante L'Hôpital:

  \[ \frac{1-x^{0}}{0}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{1-x^{y}}{y}=\lim_{y\rightarrow 0}\dfrac{-x^{y}\cdot ln(x)dy}{dy}=\lim_{y\rightarrow 0}-x^{y}\cdot ln\left ( x \right )=-ln(x) \]

Así obtuvo lo que buscaba, la expresión de \(n! \) mediante una integral, que pudiera generalizarse a valores no naturales:
  \[ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n= \int_{0}^{1}\left ( -ln\left ( x \right ) \right )^{n}dx\]

Cronológicamente hablando, esto nos sitúa, aproximadamente, en el año 1750. La extensión de la función Gamma a los números negativos y posteriormente a los números complejos, se produjo a principios del siglo XIX y formó parte del desarrollo general de la Teoría de funciones de variable compleja que habría de configurar uno de los grandes capítulos de las Matemáticas.

El matemático francés Adrien-Marie Legendre, en 1809, denominó integral euleriana de primera especie, \( \beta \), a la integral con la que Euler inició su deducción del valor de \(n! \), que hoy conocemos como función Beta:
  \[  \beta \left ( m,n \right )= \int_{0}^{1}x^{m-1}\cdot \left ( 1-x \right )^{n-1}dx \]

Así mismo, Legendre denominó integral euleriana de segunda especie,  \( \Gamma \):
  \[  \Gamma\left ( x \right )=\int_{0}^{\infty }e^{-t}\cdot t^{x-1}dt \]

Verifica la relación de recurrencia:  \( \Gamma (x+1)= x\cdot \Gamma (x)  \), fácil de comprobar mediante integración por partes. Además \( \Gamma (1)= 1\), de todo esto se deduce que \( \Gamma (n+1)= n!\).

También, como Euler había comprobado:

 \[  \Gamma\left ( n+1 \right )= \int_{0}^{1}\left ( -ln\left ( x \right ) \right )^{n}dx = n! \]

En los años posteriores a Euler se estudiaron en profundidad las funciones Gamma y Beta, y su mágica relación:

\[  \beta \left ( m,n \right )=\frac{\Gamma \left ( m \right )\cdot \Gamma (n)}{\Gamma \left (m+n  \right )} \]

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El Tapiz de Juego de Tronos

  Tapiz que muestra escenas de las 7 temporadas la serie Juego de Tronos.

Recurriendo a la tradición en la fabricación textil y del lino de Irlanda del Norte, el tapiz de Juego de Tronos se tejió y bordó a mano utilizando lino procedente de Irlanda del Norte. Antes de tejer y bordar, los artistas e ilustradores recrean y diseñan minuciosamente cada escena y personaje importante de la serie, condensando más de 77 horas de narración en 77 metros de dibujos. Una vez que los ilustradores han terminado su tarea, los diseñadores recrean los dibujos digitalmente que corresponden a cada escena individual. A continuación, llega el turno de los tejedores que trabajan a mano y recrean las escenas en un telar Jacquard.  Una vez finalizada la fase de tejido, los bordadores artesanos retocan todos los detalles, desde la corona de oro del rey Joffrey hasta el resplandeciente cabello de Daenerys.

El tapiz completo de Juego de Tronos está expuesto, actualmente, en el Museo de Ulster en Belfast.  __________________ __________MAKING OF__________

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Game of threads: Meet the embroiderers behind the Game Of Thrones tapestry

________________EL TAPIZ_____ESCENAS de JUEGO DE TRONOS___________________

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Evolución histórica del Cálculo Diferencial e Integral

Eudoxo de Cnido (siglo IV a.C.) fue discípulo de Platón y el matemático más importante de la época helénica. Sus obras se perdieron y lo que conocemos es gracias a Euclides.

Podemos decir que Eudoxo es el padre del Cálculo integral, gracias a su método para comparar figuras curvilíneas y rectilíneas. Era conocido el método de inscribir y circunscribir figuras poligonales, pero no se razonaba el porqué de la aproximación de la línea poligonal a la curva, no se disponía de la idea de límite.

Fue Eudoxo el que formalizó esta idea en lo que hoy se conoce como método de exhausción o axioma de Arquímedes (aunque el propio Arquímedes reconoció que se debe a Eudoxo):

"Si de cualquier magnitud sustraemos una parte no menor que su mitad, y si del resto sustraemos de nuevo una cantidad no menor que su mitad y si continuamos repitiendo este proceso de sustracción, terminaremos por obtener como resto una magnitud menor que cualquier magnitud del mismo tipo dada de antemano."

En lenguaje moderno, Eudoxo decía:

\(  \lim_{n\rightarrow \infty} M (1-r)^{n}=0       \) siendo  \(  \frac{1}{2}\leqslant r< 1   \)

Nos tenemos que trasladar al siglo XIV para encontrar una figura de gran interés: Nicolás de Oresme (1323-1382). Fue el primero que concibe las coordenadas en el plano como las usamos hoy. Él las  denominaba latitud y longitud. Y daría un paso de gigante cuando representó "cómo varían las cosas" mediante una gráfica. La gráfica se refería a un cuerpo moviéndose con un movimiento uniformemente acelerado.

Oresme decía:

"Todo lo que varía, se sepa medir o no, lo podemos imaginar como una cantidad continua representada por un segmento rectilíneo."

 

Sobre la recta horizontal cosideraba los sucesivos instantes del tiempo (longitud) y para cada instante traza un segmento perpendicular (latitud), cuya medida representa la velocidad en ese instante.

Oresme percibió que si un cuerpo parte del reposo entonces la totalidad de los segmentos velocidad (ordenadas) cubren el área del triángulo. Y se da cuenta de que este área representa la distancia recorrida. Curiosamente, Oresme no nos explica por qué el área bajo la curva velocidad-tiempo representa el espacio recorrido. Hoy sabemos que estaba en lo cierto.

Es decir, Oresme percibió los fundamentos del cálculo infinitesimal:

    >>  manera en que varía una función, es decir, la ecuación diferencial de la curva.

    >>  manera en que varía el área bajo la curva, es decir, integral de la función.

En el siglo XVI, tanto Simon Stevin como Kepler y Galileo, necesitaron para sus problemas prácticos el método de exhausción (Eudoxo), pero querían evitar las sutilezas lógicas que provocaba. Fueron, en gran medida, las modificaciones de los antiguos métodos infinitesimales, las que condujeron al cálculo infinitesimal.

El hecho de que fueran ante todo físicos y astrónomos, y no tuvieran una formación matemática muy rigurosa, provocó que fuese Bonaventura Cavalieri, discípulo de Galileo, el que formalizase sus ideas sobre los infinitésimos. El teorema más importante de Cavalieri fue el equivalente de la igualdad moderna:

\(   \int_{0}^{a} x^{n}dx=\dfrac{a^{n+1}}{n+1}     \)

El razonamiento que siguió para deducirla fue muy distinto a nuestra forma de ver hoy.

Consideró un paralelogramo ACDF,  y los triángulos ACF, CDF. Toma el segmento HE como un "indivisible" del triángulo CDF, traza BC = EF, y la paralela BM a CD, resulta BM un "indivisible" de ACF. Deduce entonces Cavalieri que existe una relación biunívoca de los indivisibles de ambos triángulos. Las áreas de ambos triángulos (suma de indivisibles) son iguales. Y como el paralelogramo es la suma de todos los indivisibles de ambos triángulos, resulta que la suma de los segmentos "x" de un triángulo, \(   0\leqslant x\leqslant a     \), es la mitad de la suma de los segmentos "a" = AF en el paralelogramo.

\[  \int_{0}^{a}x dx = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{a} a dx = \dfrac{1}{2}a^{2}   \]

Utilizando un razonamiento considerablemente más complicado consigue demostrar Cavalieri que la suma de los cuadrados de los segmentos en el triángulo es igual a un tercio de la suma de los cuadrados de los segmentos en el paralelogramo. Para los cubos de los mismos segmentos halló que la razón era 1/4; extendió la demostración a potencias más altas, hasta considerarse autorizado a afirmar, en su obra Exercitationes geometricae sex (1647), la generalización a potencias n-ésimas de dichos segmentos.

En 1653 se reedita la Geometría indivisilibus de Cavalieri, pero para entonces los matemáticos franceses habían conseguido resultados notables que dejaban obsoleto el planteamiento geométrico tan laborioso de Cavalieri.

Pierre de Fermat es considerado el padre del Cálculo diferencial. Fue una pena que Fermat no publicase prácticamente nada en vida, él solo se consideraba un matemático aficionado.

En su trabajo "Método para hallar máximos y mínimos" (no publicado en vida), Fermat nos pone en contacto con un proceso que hoy conocemos como diferenciación.

Fermat explica: "en una función polinómica, si comparamos su valor en un cierto punto x, con el valor de la función en x+E, cuanto más pequeño sea el intervalo E entre ambos puntos, resultará que ambos valores \(  f\left ( x \right )  \) y \(  f\left ( x+E \right )  \) aunque no son exactamente iguales, están cerca de serlo."

\[  \frac{f\left ( x \right )}{E}=\frac{f\left ( x+E \right )}{E} \]

Fermat divide ambos valores por E, e imagina E= 0. De esa igualdad deduce el valor de las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica.

En lenguaje actual:  \[  \lim_{E \to 0 }\frac{f\left ( x+E \right )-f\left ( x \right )}{E}=0  \]

El procedimiento de Fermat consistente en cambiar ligeramente el valor de la variable para considerar valores próximos a uno dado, ha constituido desde entonces la verdadera esencia del análisis infinitesimal.

Fermat, trabajando en geometría analítica, descubrió cómo aplicar su procedimiento a una curva algebraica, \(   y= f\left ( x \right )     \), para hallar la tangente.

Sea P(a,b) punto sobre la curva en el que se desea hallar la tangente.
Sea \( P_{1}\left ( a+E,f\left ( a+E \right ) \right ) \) tan próximo a la tangente que podemos considerarlo situado sobre la tangente a la vez que sobre la curva, aproximadamente.
Consideremos la subtangente TQ, resultará que los triángulos \(TPQ \) y \(TP_{1} Q_{1} \) son semejantes, aproximadamente.

\[  \frac{f\left ( a \right )}{TQ}=\frac{f\left ( a+E \right )}{TQ+E} \]

A partir de esta igualdad y suponiendo que E=0, Fermat obtiene TQ, subtangente que determina unívocamente, junto con el punto P, la tangente buscada.

El método de Fermat equivale  a decir que la pendiente de la curva en P viene dada por:

\[  \lim_{E \to 0 }\frac{f\left ( a+E \right )-f\left ( a \right )}{E}  \]

A Fermat nunca se le reconoció el mérito que le correspondía, incluso Decartes puso en duda la validez de sus métodos.

Mersenne contribuyó a divulgar algunos de los resultados de Fermat en Francia e Italia, a través de correspondencia, e incluso incluyendo estos métodos en sus obras impresas.

Fermat no solo disponía de un método para hallar las tangentes a las curvas de la forma  \(  y=x^{n} \) sino que también descubrió un resultado relativo al área encerrada bajo estas curvas, esto también fue conocido y publicado por Cavalieri en 1647, la diferencia entre ambos es que Cavalieri usaba razonamientos geométricos de indivisibles y Fermat utilizó métodos numéricos.

Fermat observó que:

\(  1^{m}+ 2^{m}+ 3^{m}+...+ \left ( n-1 \right )^{m}< \frac{n^{m+1}}{m+1}< 1^{m}+2^{m}+3^{m}+...+n^{m} \)

de lo que deduce que el área encerrada bajo la curva  \(  n^{m}  \) es \(   \dfrac{n^{m+1}}{m+1}     \)

Estos fueron los inicios, más tarde Fermat desarrollaría un método más efectivo:

"Considero la curva \(   y= x^{n}     \), supongamos que deseo calcular el área encerrada bajo la curva entre los valores \( x=0 \), \(x=a \), para ello subdivido el intervalo [0, a] en una cantidad infinita de subintervalos tomando los puntos de abscisas: \( a, a\cdot r,a\cdot r^{2}, a\cdot r^{3},...    \) donde r es un número menor que 1. En estos puntos considero las ordenadas de los correspondientes puntos de la curva, aproximando el área bajo la curva por medio de rectángulos circunscritos."

Las áreas de los sucesivos rectángulos, empezando por el mayor, vienen dadas por los términos de la serie geométrica de razón \(   r^{n+1}  \):

\(  a^{n}\cdot \left ( a- a\cdot r\right )      \)
\(   \left ( a\cdot r \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r - a\cdot r^{2}\right )= a^{n}\cdot r^{n+1}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )     \)
\(    \left ( a\cdot r^{2} \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r^{2} - a\cdot r^{3}\right )= a^{n}\cdot r^{2\cdot (n+1)}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )    \)
\(  .......      \)

\( \left ( a\cdot r^{k} \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r^{k} - a\cdot r^{k+1}\right )= a^{n}\cdot r^{k\cdot (n+1)}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )  \)

La suma de la serie será:
\(  \dfrac{a^{n}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )}{1-r^{n+1}}= \dfrac{a^{n+1}}{1+r+r^{2}+r^{3}+...+r^{n}} \)

Según r se va acercando a 1, los rectángulos se hacen cada vez más estrechos, de manera que la suma de las áreas de esos rectángulos se aproxima cada vez más al área bajo la curva. Y si hacemos r =1, obtendremos que la suma de serie que nos da el área bajo la curva:

\(  \dfrac{a^{n+1}}{n+1}      \)

Fermat también probó, siguiendo este mismo razonamiento, que el método funcionaba con exponentes fraccionarios e incluso si son negativos.

Pero Fermat se encontró con un escollo, su método no funcionaba con \(   n= -1 \)

Geometricum Quadraturae Circuli et Sectionum Coni (Gregoire de St Vincent)

 .
Fue Gregoire de St. Vincent el que estudió este singular y exótico caso:

"Si tomamos a lo largo del eje OX, puntos tales que los intervalos que determinan van creciendo en progresión geométrica, y si en dichos puntos levantamos las ordenadas correspondientes a la hipérbola  \( x\cdot y= 1  \), entonces las áreas bajo la curva, entre cada dos abscisas sucesivas, son iguales. Es decir, según crece la abscisa geométricamente, el área bajo la curva lo hace aritméticamente."

Gregoire estaba expresando, en lenguaje matemático actual:

\[   \int_{K}^{L}\frac{1}{x}dx=\int_{L}^{M} \frac{1}{x}dx   \]

De forma algo imprecisa Gregoire intuyó que se verificaba la propiedad geométrica-aritmética de los logaritmos. Hoy sabemos que:

\[  \int_{a}^{b}\frac{1}{x} dx= ln (b)- ln(a)\]

Pero aún faltaba que Evangelista Torricelli propusiera que el logaritmo tenía asociada una gráfica, porque hasta ese momento era un recurso de ayuda para el cálculo aritmético.

Fermat se interesó por muchos aspectos de lo que hoy llamamos analisis infinitesimal: tangentes, cuadraturas, longitudes de curvas,..., por lo tanto dificilmente pudo pasarle desapercibido que al hallar las tangentes de \(  k\cdot x^{n}   \) se multiplica el coeficiente por el exponente \( n  \) y la potencia de \( x \) quedaba disminuida en una unidad, y que sin embargo al hallar el área bajo  \( k\cdot x^{n} \) se eleva el exponente en una unidad y se divide el coeficiente por este nuevo exponente.

¿Pudo pasarle desapercibido que el problema de hallar las tangentes  y las cuadraturas eran inversos? Hoy se piensa que sí lo percibió pero no le pareció importante.

Evangelista Torricelli (1608-1647) fue uno de los matemáticos más prometedores del siglo XVII, que curiosamente es más recordado por la invención del barómetro.

Torricelli dominaba a la perfección los métodos de Fermat. Estuvo muy interesado en el estudio de las trayectorias parabólicas que siguen los proyectiles disparados desde un punto fijo. Fue precísamente al pasar de la ecuación de la distancia en función del tiempo, a la de la velocidad en función del tiempo, cuando Torricelli se da cuenta del carácter inverso de la determinación de tangentes y el problema de las cuadraturas.

Si hubiera vivido más, muere a los 39 años, probablemente él hubiera sido el creador del Cálculo diferencial.

Torricelli tuvo la gloria de haber representado la primera curva en la historia de la matemática, y escogió la función logaritmo \(  y= log (x)  \).

Blaise Pascal (1623-1662) fue otro matemático que murió prematuramente, y como Torricelli, estuvo casi a punto de crear el Cálculo diferencial.

Isaac Barrow (1630-1677) en 1664 fue nombrado primer profesor Lucasiano de geometría en la Universidad de Cambridge, cátedra que ocuparía en 1669 Isaac Newton, sucediendo a Barrow.

En 1668 se publica una edición revisada de Mesolabum de René de Sluze,  que incluía una sección dedicada a la resolución de problemas infinitesimales en la que aparecía un método para determinar máximos y mínimos.

MESOLABUM_René de Sluze

Así que Barrow decide ofrecer a través de la publicación de Lectiones geometricae (1670), en la que también participa Isaac Newton, una visión de los problemas de tangentes y cuadraturas hasta ese momento, incluyendo un tratamiento completo de los nuevos descubrimientos.

Barrow preferia las concepciones cinemáticas de Torricelli, consideraba las magnitudes geométricas como engendradas por un flujo continuo de puntos. Y aunque en principio prefiere los razonamientos de Cavalieri a los de Fermat, finalmente da un método de determinación de tangentes que es prácticamente idéntico al que usamos hoy en el Cálculo diferencial. El método de Barrow se parece al de Fermat, pero en él aparecen dos cantidades \(  a \) , \( e \) , en vez de la única cantidad E.

Barrow considera un punto P sobre la curva que es el punto de tangencia, se trata de hallar NM = t, subtangente. Imagina un arco de curva correspondiente a PQ infinitamente pequeño, siendo p la ordenada de P, y denomina a = QR , e = PR, lados del triángulo PQR.

Establece la semejanza de triángulos: \( \dfrac{a}{e}=\dfrac{p}{t}  \), en terminos actuales la pendiente vendría dada por \( \dfrac{a}{e} \).

Y procede de manera análoga a Fermat sustituyendo  \(  f(x,y)=0  \) por \(  f(x+e,y+a)=0 \), suprime los términos que no contengan "a" o "e", sustituye \(a \) por \(p \), \(e \) por \(t \). Quedando determinada \( t \) en términos de \( (x, p)  \), así que conocida la subtangente, conocemos la tangente.

Según todos los indicios Barrow no conocía directamente la obra de Fermat, porque no menciona su nombre, sin embargo cita como fuentes: Cavalieri, Huygens, Gregoire St. Vincent, James Gregory y Wallis. Así que es muy probable que llegara a conocer el método de Fermat a través de ellos. El propio Newton, que estaba en estrecho contacto con Barrow, reconoció que el método de Barrow era el de Fermat un poco mejorado.

De todos los matemáticos que anticiparon fragmentos del Cálculo diferencial e integral, ninguno se aproximó tanto como Barrow.

Barrow reconoció claramente el carácter inverso de los problemas relativos a tangentes y cuadraturas, pero su adhesión incondicional a los métodos geométricos, le impidió hacer un uso efectivo de esta relación.

Versión geométrica del Teorema Fundamental del Cálculo (Barrow)

Isaac Barrow: "para trazar una recta tangente a una curva, ésta última debe estar relacionada con la cuadratura de otra curva."

Barrow sabía que Newton estaba trabajando simultáneamente en los mismos problemas, así que le animó a publicar sus propios resultados. Y así fue.

 Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687)

La primera exposición del cálculo de Newton aparece en Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687). En el libro II, lema II, Newton ofrece esta críptica formulación:

"El momento de cualquier genitum es igual a los momentos de cada uno de sus lados generatrices multiplicados por los índices de las potencias de esos lados y por sus coeficientes de manera continua".

Newton entiende por genitum lo que hoy llamamos término, y por momento de un genitum entiende un incremento de él infinitamente pequeño.

Si representamos por \(a\) el momento de A y por \(b\) el momento de B, Newton demuestra que el momento de A·B es  \( a·B+b·A\) ; que el momento de \(  A^{n}  \) es \(  n\cdot a\cdot  A^{n-1}\), y que el momento de \( \dfrac{1}{A} \) es  \( \dfrac{-a}{A^{2}} \). Estas misteriosas expresiones resultaron ser equivalentes a las diferenciales de un producto, una potencia y un inverso. Esto explicaría por qué tan pocos matemáticos de la época llegaron a dominar el nuevo análisis con la terminología usada por Newton.

Newton no fue el primero en efectuar diferenciaciones e integraciones, ni tampoco el primero que observó las relaciones que existian entre ambas operaciones. A Newton, finalmente, se le considera el verdadero inventor del Cálculo, debido a que fue capaz de explotar con gran provecho, la relación inversa entre pendiente y área. Además de consolidarlo a través de un algoritmo general aplicable a todas las funciones algebraicas y trascendentes.

En la primera edición de los Principia ( Philosophiae Naturalis Principia Mathematica) reconocía Newton que Leibniz estaba en posesión de un método análogo al suyo, pero en la tercera edición, en 1726, Newton suprimió esta referencia. Coincidiendo con la agria disputa entre los seguidores de ambos matemáticos acerca de la prioridad en el descubrimiento del Cálculo.

Actualmente está ya completamente claro  que el descubrimiento de Newton precedió al de Leibniz unos diez años, pero Leibniz hizo sus descubrientos independientemente de los de Newton, además a Leibniz le corresponde la prioridad en su publicación, en las Acta Eruditorum (1684), una revista científica mensual de la época.

G.W. Leibniz (1646-1716) nació en Leipzig, se doctoró en Derecho e ingresó en la carrera diplomática. En 1672 fue a París con la intención de desviar las intenciones conquistadoras de los franceses hacia Alemania, aconseja que Francia dirija una guerra santa contra Egipto. Leibniz tenía en mente una nueva cruzada contra el infiel. Esta vez, sin embargo, el objetivo no sería Jerusalén sino Egipto. La conquista de esa tierra antigua beneficiaría no solo a Francia sino a toda Europa. Traería paz intramuros entre las potencias occidentales y permitiría que los estados cristianos fortalecieran sus defensas contra el musulmán. Sugerencia que más tarde adoptaría Napoleón en 1798.

En París se encontró con Huygens, que le aconsejó que, si deseaba hacerse matemático, leyera los tratados de Blaise Pascal de 1658-1659.

En 1673 una misión política le lleva a Londres, donde compra un ejemplar de Lectiones geometricae de Barrow. Fue esta visita la que generaría dudas sobre si habría conocido los trabajos de Newton, en forma manuscrita, pero en esa época los conocimientos de Leibniz sobre geometría y análisis eran escasos, dificilmente le hubiera sacado provecho.

 máquina calculadora de Leibniz

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En 1676 Leibniz vuelve a Londres y lleva consigo su máquina calculadora. Leibniz se interesó por la lógica, por lo que significaba en cuanto a formalización del lenguaje y del pensamiento. Leibniz cree que puede crear un lenguaje universal. Concibe la idea de un lenguaje formalizado, combinación de signos, donde lo importante sería la manera de enlazarlos, de modo que una máquina sería capaz de proporcionar todos los teoremas y de manera que todas las controversias formales se pudieran zanjar mediante un simple cálculo.

Sin duda, la prematura muerte de Blaise Pascal, pionero en la comercialización de una máquina similar, la pascalina, y que Leibniz fuera el encargado de gestionar la herencia intelectual de Pascal habrán influido tanto en el desarrollo de la máquina de Leibniz como en el desarrollo del Cálculo diferencial e integral.

 

triángulo infinitesimal o característico (Pascal )

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Leibniz concentró su atención en la lectura de las obras de Pascal sobre la cicloide y otros aspectos del análisis infinitesimal. Fue al leer Traité des sinus du quart de cercle (Blaise Pascal), en particular al observar el triángulo infinitesimal o característico usado por Pascal en la cuadratura del seno, semejante al utilizado por Barrow en el trazado de tangentes, que Leibniz dice que "se hizo la luz" para él.

Leibniz se da cuenta de que la determinación de la tangente a una curva depende de la razón entre las diferencias de las ordenadas y las abscisas, cuando se hacen infinitamente pequeñas  estas diferencias; así como las cuadraturas dependen  de la suma de las ordenadas o de los rectángulos infinitamente estrechos que constituyen el área.

Leibniz en 1676 supo que estaba en posesión de un método general que era aplicable a todo tipo de funciones. La grandeza añadida de Leibniz fue que desarrolló un lenguaje y notación adecuados, que resultaron ser especialmente afortunados.

Después de varios ensayos decidió representar por \( dx \), \( dy  \)  las diferencias más pequeñas posibles (o diferenciales) de la \( x  \) y de la \( y \). Para representar la suma de las ordenadas bajo la curva utilizó el símbolo \( \int y       \) , posteriormente usará \( \int y ·dx      \) donde el signo integral es una esbelta s, inicial de la palabra suma.

ACTA ERUDITORUM 1684

La primera exposición del Cálculo diferencial de Leibniz ocurrió en octubre de 1684, Nova methodus pro maximis e minimis..., en las Acta Eruditorum.

ACTA ERUDITORUM 1686 

Dos años más tarde publica De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum, en las Acta Eruditorum 1686, una exposición del Cálculo integral, donde muestra que las cuadraturas son un caso especial del método inverso de las tangentes. Hace hincapié en la importancia de considerar las funciones trascendentes en el nuevo análisis, pues observa que si no las incluyéramos entonces no existirían las integrales de muchas funciones algebraicas. La eficacia de la notación de Leibniz y lo plausible de sus ideas provocaron una tendencia a aceptar mejor la idea de diferencial que la de fluxión de Newton.

Cálculo diferencial deriva de: calculus differentialis (cálculo de tangentes).
Cálculo integral deriva de: calculus summatorius o integralis.


Fuente Historia de la Matemática (Carl B. Boyer)
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Tabla Periódica "cotidiana" de los Elementos

Tabla Periódica de los Elementos ilustrada con las utilidades de los elementos químicos en nuestra vida cotidiana (autor Keith Nielsen) 

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http://elements.wlonk.com

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Tabla Periódica de los Elementos Interactiva

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La Tabla Periódica (Nombre, Símbolo, Número atómico, Masa atómica, Número de protones/electrones, Número de neutrones... )

Nombre y descubrimiento de los elementos químicos

El platino (Pt), vanadio (V) y el tungsteno o wolframio (W) fueron descubiertos por españoles.

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Origen de la Tabla Periódica

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Origen de los elementos químicos del Sistema solar

De dónde viene el oro en el Universo

El 17 de octubre de 2017 se anunció la primera observación de la colisión de dos estrellas de neutrones, un hito histórico para el conocimiento del Universo.   

La luz liberada por una kilonova a 130 millones de años luz fue observada por telescopios espaciales y terrestres. Consistía en un destello azul que después se fue tornando rojo, lo que coincidía con la predicción de los científicos europeos y estadounidenses siete años antes.  

Tras la fusión de las dos estrellas, los núcleos atómicos fueron incorporando cientos de neutrones y se fueron sintetizando núcleos atómicos cada vez más pesados, oro, platino, uranio y, al final del proceso, unos pocos días después de la explosión, tierras raras caracterizadas por su destello rojizo.  

Era una descomunal fábrica que transformaba el hierro en los elementos más codiciados del planeta.Tras la fusión, los núcleos atómicos salieron despedidos a un 20% de la velocidad de la luz.  

El oro, la plata y el resto de metales se mezclarán con otros materiales dando lugar a un nuevo sistema planetario donde, tal vez algún día, alguien se pregunte cómo llegaron hasta allí.

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El origen de los Elementos químicos