LUNAR: viaje a la Luna

LUNAR 
Motion Designer: Christian Stangl Soundtrack: Wolfgang Stangl
Cortometraje realizado con las fotografías tomadas por los astronautas de las misiones APOLLO.
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Lunar Surface Journal
Operación Luna [ William Karel ]

James Clerk Maxwell, electricidad, magnetismo y la velocidad de la luz

 Ley de Gravitación Universal de Newton:

\(     F_{g}= G\cdot \dfrac{M_{1}\cdot M_{2}}{r^{2}}   \)

siendo G constante de gravitación universal, hallada de manera implícita en 1798 por Henry Cavendish, a través de su experimento de la balanza de torsión.

Charles-Augustin de Coulomb (1736-1806) describe matemáticamente la Ley de atracción entre cargas eléctricas:  

\(     F_{e}= K_{e}\cdot \dfrac{Q_{1}\cdot Q_{2}}{r^{2}}   \)

siendo \(   K_{e}=9\cdot 10^{9}\ \dfrac{N m^{2}}{C^2} \) constante relacionada con la permitividad del vacío, \(\varepsilon_0\).

Así se obtuvo que la electricidad obedecía a una ley semejante a la de ley de la gravitación universal de Newton.

Ley de atracción entre polos magnéticos:

 \(     F_{m}= K_{m}\cdot \dfrac{P_{1}\cdot P_{2}}{r^{2}}   \)

siendo  \(   K_{m}=1\cdot 10^{-7}\ \dfrac{N s^{2}}{C^2} \) constante relacionada con la permeabilidad magnética del vacío, \(  \mu _0 \).

El descubrimiento en 1820 del nexo entre electricidad y magnetismo se lo debemos a Hans Christian Ørsted (1777-1851). Pero será James Clerk Maxwell (1831-1879) quien comprenda la trascendencia de ese nexo. Maxwell  observa la dualidad de las expresiones matemáticas e intuye que ambas constantes, \(   K_{e}\) y \(   K_{m}\) deben de estar relacionadas, en efecto, el cociente de ambas ofrece un resultado sorprendente: 

\(     \dfrac{K_{e}}{K_{m}} = 9 \cdot 10^{16} \dfrac{m^2}{s^2}= (3  \cdot 10^{8})^2 \ (  \dfrac{m}{s})^2 \)

En 1850 Jean Léon Foucault midió la velocidad de la luz:  \(     c= 298.000\ km/s \approx 3\cdot 10^{8} \ m/s   \). Por lo que Maxwell concluye que el cociente de ambas constantes,  \(   K_{e}\) y \(   K_{m}\),  es el cuadrado de la velocidad de la luz.

\(  c^2 =   \dfrac{K_{e}}{K_{m}} = \dfrac{1}{\mu_0\,\varepsilon_0}    \)

Antes que Maxwell, los físicos alemanes, Wilhelm Eduard Weber y Rudolph Kohlsrauch, habrían obtenido ese sorprendente resultado, sin otorgarle la importancia que finalmente tuvo este hallazgo.  

Pero fue Maxwell quien comprendió que los campos eléctrico y magnético se crean mutuamente cuando se mueven juntos dando lugar a una onda que se desplaza a la velocidad de la luz (\(c\)). Es decir, llegó a la conclusión de que la luz es una onda electromagnética.

El descubrimiento de Maxwell, en aquel momento puramente teórico, llevaría a que las imágenes y sonidos del siglo XX se irradiasen a través del espacio, no solo en forma de luz visible sino también como ondas radiofónicas, microondas y ondas de todo el espectro electromagnético.

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En 1926 Albert Michelson midió con precisión el tiempo que la luz tardaba en recorrer la distancia entre dos picos de montaña, en Los Angeles, y obtuvo que:

\(     c= 299.796±4\ km/s \approx 3\cdot 10^{8} \ m/s   \)

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 Gravedad, electricidad y magnetismo. Medición de las constantes eléctrica y magnética. El Universo Mecánico   ______________________
Las Ecuaciones de Maxwell. El Universo Mecánico

Primera ecuación de Maxwell

Segunda ecuación de Maxwell

Tercera ecuación de Maxwell

Cuarta ecuación de Maxwell 

Ecuaciones de Maxwell

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La serie documental El Universo Mecánico [The Mechanical Universe] consta de 52 capítulos, "lecciones magistrales" impartidas por David Goodstein en 1985 [California Institute of Technology].

Una exposición amena y 'divertida' de los fundamentos de la Física contextualizados históricamente. Se complementa con la ayuda de animaciones y experimentos. Duración aproximada de cada 'lección magistral' 30 minutos.

Ver más vídeos  de El Universo Mecánico

Las funciones hiperbólicas de J.H. Lambert

Debemos a Johann Heinrich Lambert (1728-1777)  la genialidad de definir las funciones hiperbólicas.
Después de que muchos matemáticos a lo largo de 100 años no lo lograran, Lambert percibió una dualidad en el comportamiento de la circunferencia (radio =1), la hipérbola equilátera (reducida), las funciones circulares (seno, coseno, ...) y las funciones hiperbólicas, que él iba a definir.

En la matemática prehelénica la trigonometría trataba de las medidas de los ángulos y lados de los triángulos. Los griegos extienden el estudio trigonométrico a las relaciones entre los ángulos centrales en un círculo y las longitudes de los arcos que subtienden. Se considera a Hiparco de Nicea(siglo II a.C.)  como el padre de la trigonometría por componer la primera tabla de trigonometría tomando como medida del ángulo central del círculo los 360º como hacemos en la actualidad (probablemente debido al uso que ya se hacía en la astronomía babilónica, cuyo sistema de numeración era sexagesimal y posicional).

Pero el actual concepto de seno es debido a los escritores de los Siddhantas (Sistemas astronómicos) , en la India en el siglo IV, quienes trataron el estudio de la correspondencia entre la mitad de la cuerda de la circunferencia y la mitad del arco central subtendido.

Así es cómo nace en la India el antepasado de la razón trigonométrica: seno de un ángulo. Serían los árabes, en el siglo IX, quienes decidirían seguir el camino hindú y además comenzarían a referir las razones trigonométricas sobre el círculo de radio unidad.

(figura 1) \[    \sin a = BC \] \[    \cos a = OB \]

(figura 2) (definición de Lambert)  \[    \sinh a = BC \] \[    \cosh a = OB \] 

 La genialidad de Lambert fue relacionar el ángulo a con el área del sector circular, así, el seno de un ángulo a podía ser reinterpretado como el seno de "el doble del área del sector circular". En efecto:

\[  \frac{a}{2 \pi }= \frac{area (a)}{\pi} \] 

Observó también la similitud de la expresión analítica de la circunferencia de radio unidad y la hipérbola equilátera (reducida): 

\(    x^2 +y^2 =1   \)  , \(    x^2 - y^2 =1   \)  

Y gracias a esta reinterpretación de las razones trigonométricas obtuvo la expresión analítica de las funciones hiperbólicas.

A(x,y)       B(0,y)     senh a = y      cosh a =x

Vamos a obtener, usando la definición de Lambert, la expresión del seno hiperbólico:

\(    \text{Area coloreada} = \int_{0}^{y} \sqrt{1+y^2} dy - \frac{1}{2}\left ( x\ y \right ) =  \frac{1}{2}\int_{0}^{y}\left ( \frac{1}{\sqrt{1+y^2}} \right )dy =  \frac{1}{2}\ ln\left ( y+\sqrt{1+y^2} \right )\)
(integrando por partes y operando)

El doble del área coloreada será:  \(    ln\left ( y+\sqrt{1+y^2} \right ) = a \) , según piensa Lambert.

Por tanto \(   e^{a}= y+ \sqrt{1+y^2}  \)

y trivialmente \( e^{-a}= \sqrt{1+y^2} -y  \)

De donde se deduce que  \( e^{a} - e^{-a} = 2y \), o lo que es lo mismo,  \[  \sinh a = y= \frac{e^{a}-e^{-a}}{2} \]

Finalmente, teniendo en cuenta que  \(   x =   \sqrt{1+y^2}   \), obtenemos  \( e^{a} + e^{-a} = 2x   \)

o lo que es lo mismo  \[  \cosh a = x= \frac{e^{a}+e^{-a}}{2} \]

A partir de las definiciones de seno hiperbólico y coseno hiperbólico se obtiene la tangente hiperbólica por analogía con la trigonometría:
\[   \tanh a = \frac{\sinh a}{\cosh a}   \]

La funciones recíprocas de y= sinh a , x= cosh a se deducen de la definición:

\( \text{argsinh}\, y= a =  ln\left ( y+\sqrt{1+y^2} \right )  \)

\( \text{argcosh}\, x= a =  ln \left ( x+\sqrt{x^2-1} \right ) \)

Ver representaciones gráficas de las funciones hiperbólicas

Y es así, cómo Lambert cierra de una manera brillante el famoso problema de la catenaria, cuya expresión analítica sería un coseno hiperbólico. Y que tantos quebraderos de cabeza les había dado a los matemáticos del siglo XVII.

\[   f\left ( x \right )= a\cdot  cosh \left ( \frac{x}{a}  \right )     \]

En efecto, uno de los problemas que más preocupó a los matemáticos del siglo XVII era el de determinar curvas. Hasta ese momento se consideraba que una curva estaba determinada si se podía describir un procedimiento geométrico para construirla. Pero el método de coordenadas desarrollado por Descartes y Fermat permitía asociar este problema al de encontrar la ecuación de una curva mediante el uso de polinomios (curvas algebraicas). El propio Descartes fue consciente de que existían otro tipo de curvas (no algebricas) que denominó mecánicas.

 La curva catenaria  

En 1690 Jakob Bernoulli publica en Acta Eruditorum, y plantea el problema de "determinar la forma que adopta una cuerda, flexible y homogénea, fijada por sus extremos y sometida tan solo a la acción de su propio peso".

 Formulación de la catenaria de Leibniz (fig 1)  y Huygens (fig 2)

A raíz del reto formulado por Jakob Bernoulli, Huygens encuentra la solución correcta por métodos geométricos, denominando a la curva resultante catenaria. Sin embargo, serán Johann Bernoulli y Leibniz, quienes lo resolverán mediante el uso del cálculo infinitesimal. 

Johann se jactaba de haber resuelto un problema para el que su hermano Jakob se había mostrado incapaz. A partir de este momento se origina una rivalidad entre los dos hermanos muy fructífera en el terreno científico pero penosa en el ámbito personal. 

 Galileo Galilei y el propio Descartes habían creído erróneamente que esta curva era una parábola. Lo que no resulta tan descabellado si tenemos en cuenta que el polinomio de Taylor de grado 2 (parábola) del coseno hiperbólico en x=0 , resulta ser una muy buena aproximación en un amplio entorno de x=0.

\[  \cosh x  \simeq  1+ \frac{x^2}{2}  \] 

(catenaria) Arco Gateway, Saint Louis, Missouri

Catenarias en las artes plásticas

Sagrada familia, Barcelona (arquitecto: Antoni Gaudí)

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Gaudí y la catenaria 

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Jakob Bernoulli, la geometría y el nuevo cálculo

La curva catenaria

Ecuación de la catenaria  

La curva braquistócrona de Johann Bernoulli

Los métodos infinitesimales de Leibniz (1646-1716) ejercerían una profunda influencia en los matemáticos europeos continentales. En particular, su discípulo suizo Jakob Bernoulli (1654-1705) publicaría en mayo de 1690 un trabajo en la revista Acta Eruditorum donde establece la propiedad tautócrona de la cicloide haciendo uso del cálculo diferencial e integral. La curva cicloide se define como el lugar geométrico de un punto fijo de una circunferencia que gira sin deslizamiento a lo largo de una recta. Siendo \(    \theta     \) el desplazamiento angular de una circunferencia de radio R, se obtienen las ecuaciones paramétricas:

\(  x= R\ (\theta - \sin \theta )  \)

\( y= R\ (1-\cos \theta )  \)

En junio de 1696, Johann Bernoulli, hermano de Jakob, se había trasladado a Groningen (Holanda) para ocupar la cátedra de matemáticas de aquella universidad, y propone en Acta Eruditorum el problema de la braquistócrona:

 "determinar la curva, entre las infinitas posibles, por la que un cuerpo desciende en el menor tiempo posible entre dos puntos que no están ni en posición vertical ni horizontal, movido únicamente por efecto de la gravedad". 

Braquistócrona (círculo) / Galileo Galilei

El problema de la curva de tiempo más breve (braquistócrona) ya había sido considerado cerca de setenta años antes por Galileo Galilei, quien, sin poseer la potente herramienta del cálculo infinitesimal de Leibniz , había propuesto (erróneamente) que dicha curva debía de ser un arco de circunferencia.

El reto lanzado por Johann, iba dirigido a los más brillantes matemáticos del mundo. El propio Johann había añadido el inquietante dato de que dicha curva era bien conocida entre los matemáticos. El plazo para la recepción de soluciones fue establecido hasta finales de 1696, aunque Johann aseguraba que "media hora de profunda reflexión sería más que suficiente para una mente capaz". En total se recibieron cuatro propuestas de solución de Leibniz, el marqués de L´Hôpital, y los dos hermanos Jakob y Johann Bernoulli. Todas las soluciones propuestas, a excepción de la de L'Hôpital, establecían que la curva braquistócrona era una curva cicloide.

El método de resolución propuesto por Jakob Bernoulli era mucho más general que la solución propuesta por su hermano Johann, y ejerció una profunda influencia en Leonhard Euler, quien, junto a Lagrange, instauraría las bases del Cálculo de Variaciones.

 

Newton publicó de manera anónima su solución al reto de Bernoulli en Philosophical Transactions, una brillante y escueta propuesta que concluía que la curva braquistócrona era la cicloide.

Johann Bernoulli (1667-1748)

La maravillosa solución dada por Johann Bernoulli apareció en Acta Eruditorum bajo el nombre “La curvatura de un rayo en un medio no uniforme”.

Johann tomará en consideración un problema de óptica aparentemente sin relación con el problema de la braquistócrona. Conocía el Principio del menor tiempo de Fermat: "la luz va de un punto A a un punto B siguiendo la trayectoria que requiere el menor tiempo". Este principio se aplica para  encontrar la trayectoria de un rayo de luz en un medio de densidad variable, donde, en general, la luz se desplazará en curvas en lugar de líneas rectas, debido a la variación de la velocidad.

Suponiendo un medio óptico estratificado, en cada capa la velocidad de la luz es constante, y la velocidad varía de capa a capa. En el caso de que la velocidad del rayo de luz que desciende aumentara, se refractará cada vez más alejado de la vertical. Aplicando la ley de Snell: 

 \(   \dfrac{\sin \alpha _{1}}{v_{1}}= \dfrac{\sin \alpha _{2}}{v_{2}}= \dfrac{\sin \alpha _{3}}{v_{3}}   = ...\)

Si se considera que las capas son cada vez más delgadas y numerosas, entonces, en el límite, la velocidad de la luz, conforme desciende el rayo verificará: 

\(  \dfrac{\sin \alpha }{v}=constante \)

Johann supone que un cuerpo que desciende de A a B, puede escoger la trayectoria como lo hace un rayo de luz, empleando el menor tiempo posible. Además, por el Principio de conservación de la energía, la velocidad alcanzada en un nivel dado queda determinada por su pérdida de energía potencial que se transforma en energía cinética  \(  \frac{m v^{2}}{2} = mgy\) , es decir, la velocidad es proporcional a la raíz cuadrada de la distancia desde donde cae: \(   v=\sqrt{2gy} = k· \sqrt{y}   \); por tanto \(  sin \alpha=K· \sqrt{y} \)

 \( y=f(x)  \) ;  \(\tan \beta = \frac{dy}{dx}   \)    ;  \(  \alpha + \beta=90º \)

\( sin\alpha = cos\beta = \dfrac{1}{sec\beta }=\dfrac{1}{\sqrt{1+tan^{2}\beta }} =\dfrac{1}{\sqrt{1+\left ( \dfrac{dy}{dx} \right )^{2}}} = K· \sqrt{y} \)

Obtenemos:  \( y \left [ 1+\left ( \frac{dy}{dx} \right )^2 \right ] = C  \)  ecuación diferencial de la braquistócrona, según Johann Bernoulli.

\(  dx= \left ( \dfrac{y}{C-y} \right )^\frac{1}{2}dy \)

Efectuamos el cambio de variable \(   \tan\phi = \left ( \frac{y}{C-y} \right )^\frac{1}{2} \) ;  

\(dx=\tan\phi ·dy   \)

 \( y= (C-y) \tan^2\phi  \)

 \(  y· (1+\tan^2\phi) = C · \tan^2\phi \) 

 \(   y= C \cdot\sin^2\phi \) 

 \(   dy= 2C · \sin\phi ·\cos\phi · d\phi\)

 \(dx=\tan\phi ·dy=2C· \sin^2\phi ·d\phi = C(1-\cos 2\phi) d\phi  \)

Integrando:

 \( x= \frac{C}{2}\left ( 2\phi-\sin2\phi \right )+C_{1} \)

imponiendo las condiciones iniciales \(  (x,y)= (0,0) ; \phi=0 \) obtenemos \(C_{1}=0   \)

Por tanto \( x= \frac{C}{2}\left ( 2\phi-\sin2\phi \right )\)

Además  \(   y= C · \sin^2\phi=  \frac{C}{2}\left ( 1-\cos2\phi \right ) \)

Si efectuamos el cambio \(   \frac{C}{2} =R \) ; \( 2\phi=  \theta  \) obtenemos las ecuaciones paramétricas de la cicloide:

\( x= R (\theta-\sin \theta)  \)

\(  y= R (1-\cos \theta)  \)

  

(Tomado de Ecuaciones Diferenciales, George F. Simmons)

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Around the brachristochrone problem

Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral (I)

Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral (II)

Acta Eruditorum: Leibniz's Papers on Calculus