13 de septiembre de 2006

79 COCOS, 3 NÁUFRAGOS, 1 MONO y una isla desierta.



La solución al ejercicio Cocos en una isla desierta


Supongamos que N es el número de cocos que tenían.
Supongamos que el primero se llevó X, el segundo Y, el tercero Z y que finalmente se llevaron por la mañana T cocos cada uno.
Ah¡ y que el mono, en todo este lío, se llevaba un coco de cada vez… en total 4 cocos.

Las cuentas estarían así:
N-1=3X
N-1=3Y +X+1
N-1=3Z +X+Y+2
N-1=3T+X+Y+Z+3

Tomamos las dos primeras ecuaciones, usando el método de igualación:
3X=3Y+X+1 ;  es decir 2X=3Y+1

Si consideramos que estamos en Z2 = ( 0 , 1 ) los múltiplos de 2 serán ceros, y los impares serán unos…(aclaración para los que desconozcan las congruencias de resto módulo 2) :
0= Y+1
Y= -1=1 (en Z2 )
Y si lo pasamos a números enteros, sería Y =1+2k
Sustituyendo de nuevo en 2X = 3Y+1, resulta que X=3k +2

Ahora consideramos las otras dos ecuaciones restantes…y procedemos a igualar :
3Z +2 =3T+Z+3, es decir 2Z=3T+1

Si consideramos de nuevo que estamos en Z2 …
0 =T +1
T= -1= 1 (en Z2 )
Y si lo pasamos a números enteros , sería T= 1+2p
Sustituyendo de nuevo en 2Z=3T +1, resulta que Z= 2+3p

Recuperamos el valor de N=1+3X=9k+7

Y también, en función de p : N=3(2+3p)+3k+2+1+2k+2+1=12+9p+5k

De lo que se deduce que 9p=4k -5

Ahora sólo tenemos que ir dando valores naturales a k , 0,1,2,3,….hasta conseguir que el resultado 4k-5 sea múltiplo de 9.

Empezaremos con un valor alto de k,pues suponemos que no eran pocos los cocos ,ya que ni se daban cuenta de que faltaban..

Por ejemplo probamos con k= 7
N=70
9p=23 ¡absurdo!

Probemos con k=8
N=79
9p=27 ...es posible que ….p=3

Comprobamos que el resto de los datos van bien :

X=3.8+2=26

Y=1+2.8=17

Z=2+3.3=11

T=1+2.3=7

Y si comprobamos el resultado…

79= 26+17+11+3.7 +4(mono)

Ya podemos descansar…

Para los quieran ver la" versión inglesa":  http://mathworld.wolfram.com/MonkeyandCoconutProblem.htmlíndice post

7 comentarios:

desconsolado estudiante por la ignominiosa displicencia de una inverecunda moza dijo...

suerte que ibas a explicarlo para que lo entendiese todo el mundo xD. casi ni entiendo yo la solucion cuando se supone que se hacer (mas o menos xD) estos ejercicios xD. aunque bueno se que es muy dificil (o imposible) de explicarlo a alguien que no sepa nada de algebra o que no sepa que son las clases de resto modulo 'x'

aver si se ve mi nombre entero...

Roque dijo...

dios, debo estar perdiendo facultades a pasos agigantados. Gracias por dar la solución, pensé que era imposible resolverlo. De hacho ayer hable durante un buen rato sobre el problema con Diógenes

nieves dijo...

Me alegro de que os haya gustado el reto,la verdad es que os podría proponer otro como ejercicio de repaso...xxdd..me lo pensaré,suelen tener estos enunciados divertidos,en teleco ,en general ,son un poco frikis planteando cuestiones .
Y a "desconsolado estudiante por la ignominiosa dis..." ya no se lee más,le dedicaré un post explicando las congruencias...

Por ahora sólo explicar a los que desconocen el mundo de las congruencias, que en Z2 ,están los números enteros representados mediante el resto que les queda al dividir por 2,así el 6 será un 0,pues su resto de dividir por 2 es 0, si piensas en el 7 ,su representante será el 1,ya que es el resto que queda en la división por 2.. etc..
La utilidad de las congruencias está en que si yo tengo una ecuación que tiene una incógnita multiplicada por 2,pienso que eso está en el "mundo Z2" y allí esa incógnita desaparece,pues es como multiplicar por 0.Como me quedó 3Y ,eso se transforma en 1Y,luego al despejar ,me queda y=-1,pero -1 en Z2 es 1,para entenderlo ,basta que sumes 2,eso hace que encuentres su valor equivalente en Z2,de la misma manera 7,5,3,1,-1,-3,...todos serían 1.y ya solucionado el problema en Z2,se trata de devolver los resultados al mundo real... y si te quedó que Y=1,eso significa que al dividir entre 2 te quedó resto 1,es decir ,Y= 2.k+1...y el resto de las ecuaciones se resuelven igual,se trata de escoger la estrategia de reducir las 4 ecuaciones a 2,e incluso podría haber reducido todas a la dependencia de una sóla letra,pero se hacía muy largo,y en el fondo es más divertido ver que tienes que jugar con que estás resolviendo ecuaciones diofánticas,que sólo admiten soluciones enteras,de manera que hasta que no consigues que los resultados sean coherentes,no se finaliza.Además la pregunta era el menor número de cocos ,si no hubieran pedido el mínimo ,las soluciones son infinitas.Espero que se me haya entendido algo...es que las clases de matemáticas a distancia ,no me las había planteado..ahora veo que es difícil hacerme entender...xd

nieves dijo...

Pues ya recuperé el nombre completo ,de mi primer comunicante...XD..."desconsolado estudiante por la ignominiosa displicencia de una inverecunda moza ",va a ser que la inverecunda moza soy yo ???
Inverecunda ...que no tiene vergüenza
Ignominiosa..que te hace una afrenta en público
Displicencia ...desagradable

Trataré de asimilarlo...

Diogenes dijo...

Yo directamente no hubiese hecho en la vida la suposición que sirve de premisa, estar en Z2. Sin duda, lamentable sin duda.

Anónimo dijo...

que bien, estaba buscando una luz para resolver este sistema, bueno, uno medio parecido, son cinco marineros :P jejeje gracias

inverecunda moza de vigo dijo...

Hoja de problemas de Física 2, 20 de abril de 2005. ETS de ingenieros de telecomunicación. Universidad de Vigo

"Un desconsolado estudiante, atribulado por la ignominiosa displicencia de una inverecunda moza, decide arrojarse a los abismos infernales. Una vez que ha alcanzado una velocidad de caida constante, presa de un repentino acceso de arrepentimiento, comienza a proferir desaforada e ininterrumpidamente un desgarrador gemido de frecuencia constante.
El mismísimo Satanás, sentado en su trono, inmóvil y silente al borde de la sima, oye el alarido al cabo de un cierto tiempo. Cinco segundos después observa estupefacto cómo el alumno pasa gritando ante sus ojos, al tiempo que percibe un cambio de frecuencia de una octava ¡nada menos!
¿A que distancia del demonio se encontraba el infausto estudiante cuando empezó a gritar?"

Tomado de
http://www.laser.uvigo.es/docencia/Teleco/F2.05/pdf/F2Problemas05_4.pdf