1 de junio de 2018

Que si quieres arroz Catalina


El arabista Federico Corriente ocupará la silla «K» de la RAE.

Extraído de "La investigación de los arabismos del castellano en registros normales, folklóricos y bajos". Discurso leído por FEDERICO CORRIENTE (20 de mayo de 2018, REAL ACADEMIA ESPAÑOLA)

Expresiones que se tomaron del árabe andalusí:
Que si quieres arroz, Catalina (tiríd ‘ala rrús, aqṭá‘ lína / ‘¿quieres a este esposo ante todos. Acláranoslo’).
A trancas y barrancas (atrakkán barrámka /‘busca un rincón con la yegua para defenderte de varios atacantes’)
Dar el agua, dar la voz de alarma (aw‘á ‘/¡cuidado!’).
¡Agua va! (aw‘á ba‘ád /‘¡cuidado, pues!’)
Anda allá / anda la osa (abreviaciones variables del árabe andalusí ‘ámda, la ausá‘ alláh / ‘¡qué horror, Dios no deje el mal crecer!’)
Ángela María (inǧilá almaríyya /‘desvelamiento de la novia’, ‘quedar la realidad a la vista’)

Encontramos muchos arabismos en las canciones populares e infantiles, y actividades lúdicas:
Nana, nanita (nám, nám, nám ínta / ‘duerme, duerme, duérmete tú’)
Matarile (má tarí li ‘/¿qué me ves?)
Carabí hurí carabí hurá (kárbi urí, kárb yurá /‘mi pena se ha visto, mi pena se verá’)
Titiritero (tiríd tirí / ‘¿quieres ver?’)
Recodín recodán (ráqid ánt ruqúd antúm/ ‘tumbado estás tú, tumbados, vosotros’, según la descripción conocida de este juego infantil).
Ala alima alimón ( alā ‘alima al‘ālimūn ‘ea /'sepan los que deben saber’, del árabe clásico, requerido por el registro oficial de los pregones)
También es notoria la existencia en nuestra lengua de una serie de interjecciones, de las que las más pronunciables e inocentes son jo y jolín, se trata de una abreviación del grito ritual de guerra del beduino que, al herir a su enemigo, le decía: ḫuḏhā o ḫuḏ lī / 'toma esto de mi parte'.

Del árabe ḫuḏhu biṭāqah /‘tómalo, a la fuerza’, del segundo término deriva: batacazo.

Otras incorporaciones relativamente recientes al catálogo de arabismos son las voces castellanas ademán (ḍamán), adrede (AD+riḍá), atracar (atraqqá), loco (láwqa), mohíno (muhín), riesgo (rízq) y zafio (ṣáfi).

13 de mayo de 2018

Non Mi Avete Fatto Niente


Ermal Meta e Fabrizio Moro - Non Mi Avete Fatto Niente - Italy - LIVE - EUROVISION 2018
__________________
Al Cairo non lo sanno che ore sono adesso
Il sole sulla Rambla oggi non è lo stesso
In Francia c'è un concerto, la gente si diverte
Qualcuno canta forte, qualcuno grida, "a morte"
A Londra piove sempre ma oggi non fa male
Il cielo non fa sconti neanche a un funerale
A Nizza il mare è rosso di fuochi e di vergogna
Di gente sull'asfalto e sangue nella fogna
.
E questo corpo enorme che noi chiamiamo Terra
Ferito nei suoi organi dall'Asia all'Inghilterra
Galassie di persone disperse nello spazio
Ma quello più importante è lo spazio di un abbraccio
Di madri senza figli, di figli senza padri
Di volti illuminati come muri senza quadri
Minuti di silenzio spezzati da una voce
.
Non mi avete fatto niente
Non mi avete fatto niente
Non mi avete tolto niente
Questa è la mia vita che va avanti
Oltre tutto, oltre la gente
Non mi avete fatto niente
Non avete avuto niente
Perché tutto va oltre le vostre inutili guerre
.
C'è chi si fa la croce, chi prega sui tappeti
Le chiese e le moschee, gli imam e tutti i preti
Ingressi separati della stessa casa
Miliardi di persone che sperano in qualcosa
Braccia senza mani, facce senza nomi
Scambiamoci la pelle, in fondo siamo umani
Perché la nostra vita non è un punto di vista
E non esiste bomba pacifista
.
Non mi avete fatto niente
Non mi avete tolto niente
Questa è la mia vita che va avanti
Oltre tutto, oltre la gente
Non mi avete fatto niente
Non avete avuto niente
Perché tutto va oltre le vostre inutili guerre
.
Le vostre inutili guerre
Cadranno i grattacieli, le metropolitane
I muri di contrasto alzati per il pane
Ma contro ogni terrore che ostacola il cammino
Il mondo si rialza col sorriso di un bambino
Col sorriso di un bambino
Col sorriso di un bambino
Non mi avete fatto niente
Non avete avuto niente
Perché tutto va oltre le vostre inutili guerre
.
Non mi avete fatto niente
Le vostre inutili guerre
Non mi avete tolto niente
Le vostre inutili guerre
Non mi avete fatto niente
Le vostre inutili guerre
Non avete avuto niente
Le vostre inutili guerre
.
Sono consapevole che tutto più non torna
La felicità volava
Come vola via una bolla
Autores de la canción: Andrea Febo / Ermal Meta / Fabrizio Mobrici

15 de diciembre de 2017

La constante ɣ de Euler


En 1748 Leonhard Euler publica Introductio in Analysin Infinitorum en dos volúmenes (E101, E102).

La Introductio de Euler resultó trascendente, afectando a las matemáticas posteriores en contenido, estilo y notación. Euler da una definición exacta de función que difiere algo del concepto moderno:

"Una función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta de cualquier forma, cualesquiera que sean la cantidad variable y las cantidades constantes".

 Pero Euler fue más allá de dar esa definición, destacó aquellas funciones que han sido utilizadas como los bloques esenciales para construir el Análisis: polinómicas, trigonométricas, exponenciales y la función logaritmo.

Fue Euler el primero que entiende la función logaritmo como la inversa de una función exponencial y no un mero instrumento de cálculo.

Es importante recalcar que las tablas de logaritmos habían aparecido un siglo antes de que Euler naciera. Una tabla de logaritmos fue, desde esa época hasta mediados del siglo XX, lo que las calculadoras y el ordenador son en la época moderna: un gran invento para ahorrar tiempo en los cálculos tediosos. Transformaban la multiplicación y la divisón en simple adicción o sustracción.

El término logaritmo fue acuñado por Napier en el siglo XVII. Henry Briggs, profesor de geometría en Oxford, visitó a Napier en Edimburgo y después de discutirlo, llegaron a la conclusión de que el logaritmo de 1 debía ser igual a 0, mientras que el logaritmo de 10 debía ser igual a 1. Así nacen los logaritmos de "base vulgar" o logaritmos de Briggs. 

La tarea de construir la primera tabla de logaritmos en base 10 fue asumida por Briggs, fue una labor tediosa que la siguiente generación de matemáticos mejoraría usando series infinitas. Los primeros pasos en el nuevo cálculo logarítmico fueron dados por Gregoire de Saint Vicent, quien sugirió que existía relación entre los logaritmos y el área bajo un segmento de hipérbola.


  Ahora sabemos que el área bajo un segmento de hipérbola viene dado por el logaritmo natural.

 \[   \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\cdot dt= ln (x)   \]

Serán Mercator y Newton quienes aproximarán estas áreas hiperbólicas mediante series, y por tanto los logaritmos.

Newton obtuvo que:

\[ ln(1+x)= \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\cdot dt=\int_{0}^{x} (1-t+t^{2}-t^{3}+...)= x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-...     \]

Euler conoció los métodos de Newton y Mercator para aproximar valores de logaritmos mediante series, y lo mejoró. Euler observó que esa serie no aproximaba los logaritmos con la eficiencia deseada. Así que realiza un cambio, sustituye \(x\)  por \( -x \) : 

\[ ln (1-x) = - x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-... \]

Restando ambas expresiones obtuvo:

 \[ ln(1+x) - ln (1-x) = 2x+ \frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}+...\]
\[  ln\frac{1+x}{1-x}=2\cdot \left [x+ \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+... \right ]    \]

Euler afirmó que esta serie era fuertemente convergente para valores pequeños de x y que transformaría el cálculo de logaritmos decimales en una labor sencilla. Fue Euler el que, además, había demostrado la "regla de oro de los logaritmos", es decir, la relación entre logaritmos de distintas bases:  \(  \log_{10}(b) = \dfrac{ln (b)}{ln (10)} \).

Así, si  \(  x=   \dfrac{1}{3}   \), se podría calcular fácilmente  \(  ln(2)  \):
\[  ln  \dfrac{4}{2} = ln(2) = 2\cdot \left [ \frac{1}{3}+ \frac{1}{81}+\frac{1}{1215}+... \right ] = 0,693135     \]

Si \(  x=   \dfrac{1}{9} \) obtenemos
 \[  ln  \dfrac{5}{4} = 2\cdot \left [ \frac{1}{9}+ \frac{1}{2187}+\frac{1}{295245}+... \right ] = 0,223143    \]
Por tanto 
\[ ln(5)= ln (4 \cdot \dfrac{5}{4})= 2\cdot ln(2) + ln  \dfrac{5}{4} = 1,609413 \]

Finalmente:

\[log(5)=\dfrac{ln (5)}{ln (10)}= \dfrac{ln (5)}{ln (5)+ln(2)}= \dfrac{1,609413}{2,302548}=0,698970 \]
Para Euler, los logaritmos eran una de las herramientas principales del Análisis, aparecen una y otra vez a lo largo de su fructífera obra. Fue así como Euler encontró una relación entre los logaritmos y la serie armónica, y en este camino descubrió una de las constantes más omnipresentes de todas las matemáticas, la constante "gamma de Euler", ɣ.


La serie armónica \(   \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}     \) escondía tras su sencilla apariencia su carácter, la serie diverge hacia infinito. Este comportamiento era conocido mucho antes de que Euler naciera, lo había demostrado Jakob Bernoulli en Tractatus de seriebus infinitis.


Tractatus de seriebus infinitis (páginas 250, 251)

Euler se sintió atraido por la serie armónica y también realizó una demostración de la divergencia, en su Introductio

Parte de su expresión 

\[ ln (1-x) = - x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-... \]
haciendo  \(  x=1   \)
 \[ ln (0) = - (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-... )\]
Por tanto 
\[  \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n}  = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-... = - ln(0)=ln(\frac{1}{0})=ln ( \infty) =  \infty  \] 
Queda demostrado.
Porque, Euler dice: "el logaritmo de un número infinito es infinito". 
Así Euler conecta la propiedad de la serie armónica con el logaritmo.

Decide profundizar...

Comienza tomando \( x=\frac{1}{n} \) que sustituye en la expresión de la serie obtenida por Newton:
\[  ln(1+ \frac{1}{n})= \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+\frac{1}{3n^{3}}-\frac{1}{4n^{4}}- ...   \]

Por tanto
\[ \frac{1}{n}= ln(  \frac{n+1}{n}) +\frac{1}{2n^{2}}-\frac{1}{3n^{3}}+\frac{1}{4n^{4}}-...    \]

Sustituye \( n=1, 2, 3, 4,... \) obteniendo:

\[ 1 = ln(2) + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}-... \]
\[ \frac{1}{2}=ln( \frac{3}{2})+ \frac{1}{8}-\frac{1}{24}+\frac{1}{64}-...     \]
\[\frac{1}{3}= ln(\frac{4}{3}) + \frac{1}{18}-\frac{1}{81}+\frac{1}{324}-...   \]
.............................................................
\[\frac{1}{n}=ln( \frac{n+1}{n}) +\frac{1}{2n^{2}}-\frac{1}{3n^{3}}+\frac{1}{4n^{4}}- ...\]

Sumando por columnas:

\[  \sum_{1}^{n }\frac{1}{k}  = ln(2) +ln( \frac{3}{2})+ ln(\frac{4}{3})+...+ln( \frac{n+1}{n})+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...  \]
Obtiene:
\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot \cdot \cdot\frac{n+1}{n})+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...\]
Es decir:
\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(n+1)+  \frac{1}{2}\cdot \left [ 1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot \left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...\]   
Euler calcula aproximadamente el resto de la serie que aparece en la expresión y obtiene la estimación: 0,577218.

\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(n+1)+0,577218  \]

En consecuencia, para un valor alto de n, la suma parcial de la serie armónica es la suma de un logaritmo más una constante, este número se representa por la letra griega ɣ.

 ɣ es conocida como constante de Euler, no confundir con el número de Euler \( e=2,7182... \)

Su definición exacta es \[   \gamma =\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}-ln(n+1) \right ]    \]

En la actulidad esta constante se define:
\[   \gamma =\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}-ln(n) \right ]    \]
lo que no supone ninguna diferencia, en cuanto a su valor como límite.


  \(  \gamma , \pi ,e\) aparecen por sorpresa en muchas cuestiones del Análisis superior.

\[  e^{\frac{\gamma }{2}}=\frac{\sqrt{2\pi }}{e}\prod_{1}^{n}e^{\frac{1-2n}{2n}}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n}    \]
\[  \gamma=-\int_{0}^{\infty }e^{-x}\ln(x) \]

\[\gamma=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{n^{x}}-\frac{1}{x^{n}} \right ) \]

Finalmente, la relación entre la función Gamma \(\Gamma\) y \(\gamma \), siendo   \(\Gamma (n)= (n-1)!\):

\[\gamma =\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \frac{\Gamma (\frac{1}{n})\cdot \Gamma (n+1)\cdot n^{\frac{n+1}{n}}}{\Gamma (2+n+\frac{1}{n})}-\frac{n^{2}}{n+1}\right ] \]

A día de hoy sigue sin demostración su carácter irracional o racional. Es admitido universalmente que es un número irracional.

El geómetra italiano Mascheroni en su obra Adnotationes ad calculum integrale Euleri, calculó el valor de  ɣ con 32 decimales, unos años más tarde Johann Georg von Soldner dio a conocer una aproximación que difería de la de Mascheroni a partir de la vigésima cifra decimal. Algo tan desconcertante que Gauss encargó que un calculista infatigable, F.B.G. Nicolai, resolviera el conflicto numérico. Calculó ɣ  con 40 decimales, finalmente Soldner tenía razón y Mascheroni estaba equivocado. Pero el hecho de que hubiera calculado mal su valor no impidió que en la actualidad ɣ se conozca como la constante de Euler-Mascheroni, ello se debe a que fue Mascheroni quien bautizó a este enigmático número con el nombre ɣ.

En el año 2006 Alexander J. Yee calculó la constante de Euler-Mascheroni con más de 116 millones de cifras decimales...

_________________________________________
Fuentes
Euler, El maestro de todos los matemáticos (William Dunham)
Euler y la Teoría de números
Las funciones eulerianas Gamma y Beta complejas
Euler's Correspondence with Christian Goldbach 
The Euler Archive