En 1748 Leonhard Euler publica
Introductio in Analysin Infinitorum en dos volúmenes (
E101,
E102).
La
Introductio
de Euler resultó trascendente, afectando a las matemáticas posteriores
en contenido, estilo y notación. Euler da una definición exacta de
función que
difiere algo del concepto moderno:
"Una
función de una cantidad variable es una expresión analítica compuesta
de cualquier forma, cualesquiera que sean la cantidad variable y las
cantidades constantes".
Pero
Euler fue más allá de dar esa definición, destacó aquellas funciones
que han sido utilizadas como los bloques esenciales para construir el
Análisis: polinómicas, trigonométricas, exponenciales y la función
logaritmo.
Fue
Euler el primero que entiende la función logaritmo como la inversa de
una función exponencial y no un mero instrumento de cálculo.
Es importante recalcar que
las tablas de logaritmos
habían aparecido un siglo antes de que Euler naciera. Una tabla de
logaritmos fue, desde esa época hasta mediados del siglo XX, lo que las
calculadoras y el ordenador son en la época moderna: un gran invento
para ahorrar tiempo en los cálculos tediosos. Transformaban la
multiplicación y la divisón en simple adicción o sustracción.
El término logaritmo fue
acuñado por Napier en el siglo XVII.
Henry Briggs, profesor de geometría en Oxford, visitó a Napier en Edimburgo y después de discutirlo, llegaron a la conclusión de que
el logaritmo de 1 debía ser igual a 0, mientras que el logaritmo de 10 debía ser igual a 1.
Así nacen los logaritmos de "base vulgar" o logaritmos de Briggs.
Ahora sabemos que el área bajo un segmento de hipérbola viene dado por el
logaritmo natural.
\[ \int_{1}^{x}\frac{1}{t}\cdot dt= ln (x) \]
Serán
Mercator y
Newton quienes aproximarán estas
áreas hiperbólicas mediante series, y por tanto los logaritmos.
Newton obtuvo que:
\[ ln(1+x)= \int_{0}^{x}\frac{1}{1+t}\cdot dt=\int_{0}^{x} (1-t+t^{2}-t^{3}+...)= x-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}-... \]
Euler
conoció los métodos de Newton y Mercator para aproximar valores de
logaritmos mediante series, y lo mejoró. Euler observó que esa serie no
aproximaba los logaritmos con la eficiencia deseada. Así que realiza un
cambio, sustituye \(x\) por \( -x \) :
\[ ln (1-x) = - x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-... \]
Restando ambas expresiones obtuvo:
\[ ln(1+x) - ln (1-x) = 2x+ \frac{2x^{3}}{3}+\frac{2x^{5}}{5}+...\]
\[ ln\frac{1+x}{1-x}=2\cdot \left [x+ \frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{5}}{5}+... \right ] \]
Euler
afirmó que esta serie era fuertemente convergente para valores pequeños
de x y que transformaría el cálculo de logaritmos decimales en una
labor sencilla. Fue Euler el que, además, había demostrado la "regla de
oro de los logaritmos", es decir, la relación entre logaritmos de
distintas bases: \( \log_{10}(b) = \dfrac{ln (b)}{ln (10)} \).
Así, si \( x= \dfrac{1}{3} \), se podría calcular fácilmente \( ln(2) \):
\[ ln \dfrac{4}{2} = ln(2) = 2\cdot \left [ \frac{1}{3}+ \frac{1}{81}+\frac{1}{1215}+... \right ] = 0,693135 \]
Si \( x= \dfrac{1}{9} \) obtenemos
\[ ln \dfrac{5}{4} = 2\cdot \left [ \frac{1}{9}+ \frac{1}{2187}+\frac{1}{295245}+... \right ] = 0,223143 \]
Por tanto
\[ ln(5)= ln (4 \cdot \dfrac{5}{4})= 2\cdot ln(2) + ln \dfrac{5}{4} = 1,609413 \]
Finalmente:
\[log(5)=\dfrac{ln (5)}{ln (10)}= \dfrac{ln (5)}{ln (5)+ln(2)}= \dfrac{1,609413}{2,302548}=0,698970 \]
Para
Euler, los logaritmos eran una de las herramientas principales del
Análisis, aparecen una y otra vez a lo largo de su fructífera obra. Fue
así como Euler encontró una relación entre los logaritmos y la serie
armónica, y en este camino descubrió una de las constantes más
omnipresentes de todas las matemáticas, la constante "gamma de Euler",
ɣ.
La
serie armónica \( \sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n} \) escondía tras
su sencilla apariencia su carácter, la serie diverge hacia infinito.
Este comportamiento era conocido mucho antes de que Euler naciera, lo
había demostrado
Jakob Bernoulli en
Tractatus de seriebus infinitis.
Euler se sintió atraido por la serie armónica y también realizó una demostración de la divergencia, en su Introductio.
Parte de su expresión
\[ ln (1-x) = - x-\frac{x^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{4}}{4}-... \]
haciendo \( x=1 \)
\[ ln (0) = - (1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-... )\]
Por tanto
\[
\sum_{1}^{\infty }\frac{1}{n} =
1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}-... = - ln(0)=ln(\frac{1}{0})=ln (
\infty) = \infty \]
Queda demostrado.
Porque, Euler dice: "el logaritmo de un número infinito es infinito".
Así Euler conecta la propiedad de la serie armónica con el logaritmo.
Decide profundizar...
Comienza tomando \( x=\frac{1}{n} \) que sustituye en la expresión de la serie obtenida por Newton:
\[ ln(1+ \frac{1}{n})= \frac{1}{n}-\frac{1}{2n^{2}}+\frac{1}{3n^{3}}-\frac{1}{4n^{4}}- ... \]
Por tanto
\[ \frac{1}{n}= ln( \frac{n+1}{n}) +\frac{1}{2n^{2}}-\frac{1}{3n^{3}}+\frac{1}{4n^{4}}-... \]
Sustituye \( n=1, 2, 3, 4,... \) obteniendo:
\[ 1 = ln(2) + \frac{1}{2}-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}-... \]
\[ \frac{1}{2}=ln( \frac{3}{2})+ \frac{1}{8}-\frac{1}{24}+\frac{1}{64}-... \]
\[\frac{1}{3}= ln(\frac{4}{3}) + \frac{1}{18}-\frac{1}{81}+\frac{1}{324}-... \]
.............................................................
\[\frac{1}{n}=ln( \frac{n+1}{n}) +\frac{1}{2n^{2}}-\frac{1}{3n^{3}}+\frac{1}{4n^{4}}- ...\]
Sumando por columnas:
\[
\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(2) +ln( \frac{3}{2})+
ln(\frac{4}{3})+...+ln( \frac{n+1}{n})+ \frac{1}{2}\cdot \left [
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot
\left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+... \]
Obtiene:
\[\sum_{1}^{n
}\frac{1}{k} = ln(2\cdot \frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot \cdot
\cdot\frac{n+1}{n})+ \frac{1}{2}\cdot \left [
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot
\left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right ]+...\]
Es decir:
\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(n+1)+ \frac{1}{2}\cdot \left [
1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+...\frac{1}{n^{2}} \right ] - \frac{1}{3}\cdot
\left [ 1+\frac{1}{8}+\frac{1}{27}+...+\frac{1}{n^{3}} \right
]+...\]
Euler calcula aproximadamente el resto de la serie que aparece en la expresión y obtiene la estimación: 0,577218.
\[\sum_{1}^{n }\frac{1}{k} = ln(n+1)+0,577218 \]
En
consecuencia, para un valor alto de n, la suma parcial de la serie
armónica es la suma de un logaritmo más una constante, este número se
representa por la letra griega ɣ.
ɣ es conocida como constante de Euler, no confundir con el número de Euler \( e=2,7182... \)
Su definición exacta es \[ \gamma =\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}-ln(n+1) \right ] \]
En la actulidad esta constante se define:
\[ \gamma =\lim_{n\rightarrow \infty } \left [ \sum_{1}^{n}\frac{1}{k}-ln(n) \right ] \]
lo que no supone ninguna diferencia, en cuanto a su valor como límite.
\( \gamma , \pi ,e\)
aparecen por sorpresa en muchas cuestiones del Análisis superior.
\[ e^{\frac{\gamma }{2}}=\frac{\sqrt{2\pi }}{e}\prod_{1}^{n}e^{\frac{1-2n}{2n}}\left ( 1+\frac{1}{n} \right )^{n} \]
\[ \gamma=-\int_{0}^{\infty }e^{-x}\ln(x) \]
\[\gamma=\lim_{x\rightarrow 1^{+}}\sum_{n=1}^{\infty }\left ( \frac{1}{n^{x}}-\frac{1}{x^{n}} \right ) \]
Finalmente, la relación entre
la función Gamma \(\Gamma\) y \(\gamma \), siendo \(\Gamma (n)= (n-1)!\):
\[\gamma
=\lim_{n\rightarrow \infty }\left [ \frac{\Gamma (\frac{1}{n})\cdot
\Gamma (n+1)\cdot n^{\frac{n+1}{n}}}{\Gamma
(2+n+\frac{1}{n})}-\frac{n^{2}}{n+1}\right ] \]
A día de hoy sigue sin demostración su carácter irracional o racional. Es admitido universalmente que es un número irracional.
El
geómetra italiano Mascheroni en su obra
Adnotationes ad calculum integrale Euleri, calculó el valor de ɣ con 32 decimales, unos años más tarde
Johann Georg von Soldner dio
a conocer una aproximación que difería de la de Mascheroni a partir de
la vigésima cifra decimal. Algo tan desconcertante que
Gauss encargó que un calculista infatigable,
F.B.G. Nicolai,
resolviera el conflicto numérico. Calculó ɣ con 40 decimales,
finalmente Soldner tenía razón y Mascheroni estaba equivocado. Pero el
hecho de que hubiera calculado mal su valor no impidió que en la
actualidad ɣ se conozca como la constante de Euler-Mascheroni, ello se
debe a que fue Mascheroni quien bautizó a este enigmático número con el
nombre ɣ.
En el año 2006 Alexander J. Yee
calculó la constante de Euler-Mascheroni con más de 116 millones de cifras decimales...
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Fuentes
