y el matemático más importante de la época helénica. Sus obras se perdieron y lo que conocemos es gracias a
,
gracias a su método para comparar figuras curvilíneas y rectilíneas.
Era conocido el método de inscribir y circunscribir figuras poligonales,
pero no se razonaba el porqué de la aproximación de la línea poligonal a
la curva, no se disponía de la idea de límite.
Nos tenemos que trasladar al siglo XIV para encontrar una figura de gran interés:
(1323-1382). Fue el primero que concibe las coordenadas en el plano
como las usamos hoy. Él las denominaba latitud y longitud. Y daría un
paso de gigante cuando representó "
" mediante una gráfica. La gráfica se refería a un cuerpo moviéndose con un movimiento uniformemente acelerado.
Sobre
la recta horizontal cosideraba los sucesivos instantes del tiempo
(longitud) y para cada instante traza un segmento perpendicular
(latitud), cuya medida representa la velocidad en ese instante.
>> manera en que varía una función, es decir, la ecuación diferencial de la curva.
>> manera en que varía el área bajo la curva, es decir, integral de la función.
En el siglo XVI, tanto
Simon Stevin como
Kepler y
Galileo,
necesitaron para sus problemas prácticos el método de exhausción
(Eudoxo), pero querían evitar las sutilezas lógicas que provocaba.
Fueron, en gran medida, las modificaciones de los antiguos métodos
infinitesimales, las que condujeron al cálculo infinitesimal.
El hecho de que fueran ante todo físicos y astrónomos, y no tuvieran una formación matemática muy rigurosa, provocó que fuese
Bonaventura Cavalieri,
discípulo de Galileo, el que formalizase sus ideas sobre los
infinitésimos. El teorema más importante de Cavalieri fue el equivalente
de la igualdad moderna:
\int_{0}^{a} x^{n}dx=\dfrac{a^{n+1}}{n+1}
El razonamiento que siguió para deducirla
fue muy distinto a nuestra forma de ver hoy.
Consideró
un paralelogramo ACDF, y los triángulos ACF, CDF. Toma el segmento HE
como un "indivisible" del triángulo CDF, traza BC = EF, y la paralela BM
a CD, resulta BM un "indivisible" de ACF. Deduce entonces Cavalieri que
existe una relación biunívoca de los indivisibles de ambos triángulos.
Las áreas de ambos triángulos (suma de indivisibles) son iguales. Y como
el paralelogramo es la suma de todos los indivisibles de ambos
triángulos, resulta que la suma de los segmentos "x" de un triángulo,
0\leqslant x\leqslant a , es la mitad de la suma de los
segmentos "a" = AF en el paralelogramo.
\int_{0}^{a}x dx = \dfrac{1}{2} \int_{0}^{a} a dx = \dfrac{1}{2}a^{2}
Utilizando
un razonamiento considerablemente más complicado consigue demostrar
Cavalieri que la suma de los cuadrados de los segmentos en el triángulo
es igual a un tercio de la suma de los cuadrados de los segmentos en el
paralelogramo. Para los cubos de los mismos segmentos halló que la razón
era 1/4; extendió la demostración a potencias más altas, hasta
considerarse autorizado a afirmar, en su obra
Exercitationes geometricae sex (1647), la generalización a potencias n-ésimas de dichos segmentos
.
En 1653 se reedita la
Geometría indivisilibus de
Cavalieri, pero para entonces los matemáticos franceses habían
conseguido resultados notables que dejaban obsoleto el planteamiento
geométrico tan laborioso de Cavalieri.
Pierre de Fermat es considerado el padre del
Cálculo diferencial. Fue una pena que Fermat no publicase prácticamente nada en vida, él solo se consideraba un matemático aficionado.
En su trabajo "
Método para hallar máximos y mínimos" (no publicado en vida), Fermat nos pone en contacto con un proceso que hoy conocemos como
diferenciación.
Fermat
explica: "en una función polinómica, si comparamos su valor en un
cierto punto x, con el valor de la función en x+E, cuanto más pequeño
sea el intervalo E entre ambos puntos, resultará que ambos valores
f\left ( x \right ) y
f\left ( x+E \right ) aunque no son
exactamente iguales, están cerca de serlo."
\frac{f\left ( x \right )}{E}=\frac{f\left ( x+E \right )}{E}
Fermat
divide ambos valores por E, e imagina E= 0. De esa igualdad deduce el
valor de las abscisas de los máximos y mínimos de la función polinómica.
En lenguaje actual:
\lim_{E \to 0 }\frac{f\left ( x+E \right )-f\left ( x \right )}{E}=0
El
procedimiento de Fermat consistente en cambiar ligeramente el valor de
la variable para considerar valores próximos a uno dado, ha constituido
desde entonces la verdadera esencia del análisis infinitesimal.
Fermat,
trabajando en geometría analítica, descubrió cómo aplicar su
procedimiento a una curva algebraica,
y= f\left ( x \right )
, para hallar la tangente.
Sea P(a,b) punto sobre la curva en el que se desea hallar la tangente.
Sea
P_{1}\left ( a+E,f\left ( a+E \right ) \right ) tan próximo a la
tangente que podemos considerarlo situado sobre la tangente a la vez que
sobre la curva, aproximadamente.
Consideremos la subtangente TQ, resultará que los triángulos
TPQ y
TP_{1} Q_{1} son semejantes, aproximadamente.
\frac{f\left ( a \right )}{TQ}=\frac{f\left ( a+E \right )}{TQ+E}
A
partir de esta igualdad y suponiendo que E=0, Fermat obtiene TQ,
subtangente que determina unívocamente, junto con el punto P, la
tangente buscada.
El método de Fermat equivale a decir que la pendiente de la curva en P viene dada por:
\lim_{E \to 0 }\frac{f\left ( a+E \right )-f\left ( a \right )}{E}
A Fermat nunca se le reconoció el mérito que le correspondía, incluso
Decartes puso en duda la validez de sus métodos.
Mersenne
contribuyó a divulgar algunos de los resultados de Fermat en Francia e
Italia, a través de correspondencia, e incluso incluyendo estos métodos
en sus obras impresas.
Fermat no solo disponía de un
método para hallar las tangentes a las curvas de la forma
y=x^{n}
sino que también descubrió un resultado relativo al área encerrada
bajo estas curvas, esto también fue conocido y publicado por Cavalieri
en 1647, la diferencia entre ambos es que Cavalieri usaba razonamientos
geométricos de
indivisibles y Fermat utilizó métodos numéricos.
Fermat observó que:
1^{m}+ 2^{m}+ 3^{m}+...+ \left ( n-1 \right )^{m}< \frac{n^{m+1}}{m+1}< 1^{m}+2^{m}+3^{m}+...+n^{m}
de lo que deduce que el área encerrada bajo la curva
n^{m} es
\dfrac{n^{m+1}}{m+1}
Estos fueron los inicios, más tarde Fermat desarrollaría un método más efectivo:
"Considero
la curva y= x^{n} , supongamos que deseo calcular el área
encerrada bajo la curva entre los valores x=0 , x=a , para ello
subdivido el intervalo [0, a] en una cantidad infinita de subintervalos
tomando los puntos de abscisas: a, a\cdot r,a\cdot r^{2}, a\cdot
r^{3},... donde r es un número menor que 1. En estos puntos
considero las ordenadas de los correspondientes puntos de la curva,
aproximando el área bajo la curva por medio de rectángulos
circunscritos."
Las
áreas de los sucesivos rectángulos, empezando por el mayor, vienen
dadas por los términos de la serie geométrica de razón
r^{n+1} :
a^{n}\cdot \left ( a- a\cdot r\right )
\left ( a\cdot r \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r - a\cdot
r^{2}\right )= a^{n}\cdot r^{n+1}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )
\left ( a\cdot r^{2} \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot
r^{2} - a\cdot r^{3}\right )= a^{n}\cdot r^{2\cdot (n+1)}\cdot \left (
a-a\cdot r \right )
.......
\left ( a\cdot r^{k} \right )^{n}\cdot \left ( a\cdot r^{k} - a\cdot
r^{k+1}\right )= a^{n}\cdot r^{k\cdot (n+1)}\cdot \left ( a-a\cdot r
\right )
La suma de la serie será:
\dfrac{a^{n}\cdot \left ( a-a\cdot r \right )}{1-r^{n+1}}= \dfrac{a^{n+1}}{1+r+r^{2}+r^{3}+...+r^{n}}
Según
r se va acercando a 1, los rectángulos se hacen cada vez más estrechos,
de manera que la suma de las áreas de esos rectángulos se aproxima cada
vez más al área bajo la curva. Y si hacemos r =1, obtendremos que la
suma de serie que nos da el área bajo la curva:
\dfrac{a^{n+1}}{n+1}
Fermat
también probó, siguiendo este mismo razonamiento, que el método
funcionaba con exponentes fraccionarios e incluso si son negativos.
Pero Fermat se encontró con un escollo, su método no funcionaba con
n= -1
.
Fue
Gregoire de St. Vincent el que estudió este singular y exótico caso:
"Si
tomamos a lo largo del eje OX, puntos tales que los intervalos que
determinan van creciendo en progresión geométrica, y si en dichos puntos
levantamos las ordenadas correspondientes a la hipérbola
x\cdot y=
1 , entonces las áreas bajo la curva, entre cada dos abscisas
sucesivas, son iguales. Es decir, según crece la abscisa
geométricamente, el área bajo la curva lo hace aritméticamente."
Gregoire estaba expresando, en lenguaje matemático actual:
\int_{K}^{L}\frac{1}{x}dx=\int_{L}^{M} \frac{1}{x}dx
De forma algo imprecisa Gregoire intuyó que se verificaba
la propiedad geométrica-aritmética de los logaritmos. Hoy sabemos que:
\int_{a}^{b}\frac{1}{x} dx= ln (b)- ln(a)
Pero aún faltaba que
Evangelista Torricelli propusiera que
el logaritmo tenía asociada una gráfica, porque hasta ese momento era un recurso de ayuda para el cálculo aritmético.
Fermat
se interesó por muchos aspectos de lo que hoy llamamos analisis
infinitesimal: tangentes, cuadraturas, longitudes de curvas,..., por lo
tanto dificilmente pudo pasarle desapercibido que al hallar las
tangentes de
k\cdot x^{n} se multiplica el coeficiente por el
exponente
n y la potencia de
x quedaba disminuida en una
unidad, y que sin embargo al hallar el área bajo
k\cdot x^{n} se
eleva el exponente en una unidad y se divide el coeficiente por este
nuevo exponente.
¿Pudo pasarle desapercibido que el
problema de hallar las tangentes y las cuadraturas eran inversos? Hoy
se piensa que sí lo percibió pero no le pareció importante.
Evangelista Torricelli (1608-1647) fue uno de los matemáticos más prometedores del siglo XVII, que curiosamente es más recordado por
la invención del barómetro.
Torricelli
dominaba a la perfección los métodos de Fermat. Estuvo muy interesado
en el estudio de las trayectorias parabólicas que siguen los proyectiles
disparados desde un punto fijo. Fue precísamente al pasar de la
ecuación de la distancia en función del tiempo, a la de la velocidad en
función del tiempo, cuando Torricelli se da cuenta del carácter inverso
de la determinación de tangentes y el problema de las cuadraturas.
Si hubiera vivido más, muere a los 39 años, probablemente él hubiera sido el creador del
Cálculo diferencial.
Torricelli
tuvo la gloria de haber representado la primera curva en la historia de
la matemática, y escogió la función logaritmo
y= log (x) .
Blaise Pascal (1623-1662) fue otro matemático que murió prematuramente, y como Torricelli, estuvo casi a punto de crear el
Cálculo diferencial.
Isaac Barrow (1630-1677) en 1664 fue nombrado primer
profesor Lucasiano de geometría en la Universidad de Cambridge, cátedra que ocuparía en 1669
Isaac Newton, sucediendo a Barrow.
En 1668 se publica una edición revisada de
Mesolabum de
René de Sluze,
que incluía una sección dedicada a la resolución de problemas
infinitesimales en la que aparecía un método para determinar máximos y
mínimos.
Así que Barrow decide ofrecer a través de la publicación de
Lectiones geometricae
(1670), en la que también participa Isaac Newton, una visión de los
problemas de tangentes y cuadraturas hasta ese momento, incluyendo un
tratamiento completo de los nuevos descubrimientos.
Barrow
preferia las concepciones cinemáticas de Torricelli, consideraba las
magnitudes geométricas como engendradas por un flujo continuo de puntos.
Y aunque en principio prefiere los razonamientos de Cavalieri a los de
Fermat, finalmente da un método de determinación de tangentes que es
prácticamente idéntico al que usamos hoy en el
Cálculo diferencial.
El método de Barrow se parece al de Fermat, pero en él aparecen dos
cantidades
a ,
e , en vez de la única cantidad E.
Barrow
considera un punto P sobre la curva que es el punto de tangencia, se
trata de hallar NM = t, subtangente. Imagina un arco de curva
correspondiente a PQ infinitamente pequeño, siendo p la ordenada de P, y
denomina a = QR , e = PR, lados del triángulo PQR.
Establece
la semejanza de triángulos: \dfrac{a}{e}=\dfrac{p}{t} , en
terminos actuales la pendiente vendría dada por \dfrac{a}{e} .
Y
procede de manera análoga a Fermat sustituyendo f(x,y)=0 por
f(x+e,y+a)=0 , suprime los términos que no contengan "a" o "e",
sustituye a por p , e por t . Quedando determinada
t en términos de (x, p) , así que conocida la subtangente,
conocemos la tangente.
Según
todos los indicios Barrow no conocía directamente la obra de Fermat,
porque no menciona su nombre, sin embargo cita como fuentes: Cavalieri,
Huygens, Gregoire St. Vincent,
James Gregory y
Wallis.
Así que es muy probable que llegara a conocer el método de Fermat a
través de ellos. El propio Newton, que estaba en estrecho contacto con
Barrow, reconoció que el método de Barrow era el de Fermat un poco
mejorado.
De todos los matemáticos que anticiparon fragmentos del Cálculo diferencial e integral, ninguno se aproximó tanto como Barrow.
Barrow
reconoció claramente el carácter inverso de los problemas relativos a
tangentes y cuadraturas, pero su adhesión incondicional a los métodos
geométricos, le impidió hacer un uso efectivo de esta relación.
Isaac Barrow: "para trazar una recta tangente a una curva, ésta última debe estar relacionada con la cuadratura de otra curva."
Barrow
sabía que Newton estaba trabajando simultáneamente en los mismos
problemas, así que le animó a publicar sus propios resultados. Y así
fue.
La primera exposición del cálculo de Newton aparece en
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (1687). En el libro II, lema II, Newton ofrece esta críptica formulación:
"El
momento de cualquier
genitum
es igual a los momentos de cada uno de sus lados generatrices
multiplicados por los índices de las potencias de esos lados y por sus
coeficientes de manera continua".
Newton entiende por
genitum lo que hoy llamamos
término, y por momento de un
genitum entiende un
incremento de él infinitamente pequeño.
Si
representamos por
a el momento de A y por
b el momento de
B, Newton demuestra que el momento de A·B es
a·B+b·A ; que el
momento de
A^{n} es
n\cdot a\cdot A^{n-1}, y que el
momento de
\dfrac{1}{A} es
\dfrac{-a}{A^{2}} . Estas
misteriosas expresiones resultaron ser equivalentes a las diferenciales
de un producto, una potencia y un inverso. Esto explicaría por qué tan
pocos matemáticos de la época llegaron a dominar el nuevo análisis con
la terminología usada por Newton.
Newton no fue el
primero en efectuar diferenciaciones e integraciones, ni tampoco el
primero que observó las relaciones que existian entre ambas operaciones.
A Newton, finalmente, se le considera el verdadero inventor del
Cálculo, debido a que fue capaz de explotar con gran provecho, la
relación inversa entre pendiente y área. Además de consolidarlo a través
de un algoritmo general aplicable a todas las funciones algebraicas y
trascendentes.
En la primera edición de los
Principia (
Philosophiae Naturalis Principia Mathematica)
reconocía Newton que Leibniz estaba en posesión de un método análogo al
suyo, pero en la tercera edición, en 1726, Newton suprimió esta
referencia. Coincidiendo con la agria disputa entre los seguidores de
ambos matemáticos acerca de la prioridad en el descubrimiento del
Cálculo.
Actualmente está ya completamente claro que
el descubrimiento de Newton precedió al de Leibniz unos diez años, pero
Leibniz hizo sus descubrientos independientemente de los de Newton,
además a Leibniz le corresponde la prioridad en su publicación, en las
Acta Eruditorum (1684), una revista científica mensual de la época.
G.W. Leibniz (1646-1716)
nació en Leipzig, se doctoró en Derecho e ingresó en la carrera
diplomática. En 1672 fue a París con la intención de
desviar las intenciones conquistadoras de los franceses hacia Alemania, aconseja que Francia dirija una
guerra santa
contra Egipto. Leibniz tenía en mente una nueva cruzada contra el
infiel. Esta vez, sin embargo, el objetivo no sería Jerusalén sino
Egipto. La conquista de esa tierra antigua beneficiaría no solo a
Francia sino a toda Europa. Traería paz intramuros entre las potencias
occidentales y permitiría que los estados cristianos fortalecieran sus
defensas contra el musulmán. Sugerencia que más tarde
adoptaría Napoleón en 1798.
En París se encontró con
Huygens, que le aconsejó que, si deseaba hacerse matemático, leyera los tratados de
Blaise Pascal de 1658-1659.
En 1673 una misión política le lleva a Londres, donde compra un ejemplar de
Lectiones geometricae de
Barrow. Fue esta visita la que generaría dudas sobre si habría conocido
los trabajos de Newton, en forma manuscrita, pero en esa época los
conocimientos de Leibniz sobre geometría y análisis eran escasos,
dificilmente le hubiera sacado provecho.
.
En 1676 Leibniz vuelve a Londres y lleva consigo su
máquina calculadora.
Leibniz se interesó por la lógica, por lo que significaba en cuanto a
formalización del lenguaje y del pensamiento. Leibniz cree que puede
crear un lenguaje universal. Concibe la idea de un lenguaje formalizado,
combinación de signos, donde lo importante sería la manera de
enlazarlos, de modo que una máquina sería capaz de proporcionar todos
los teoremas y de manera que todas las controversias formales se
pudieran zanjar mediante un simple cálculo.
Sin duda, la prematura muerte de
Blaise Pascal, pionero en la comercialización de una máquina similar, la
pascalina,
y que Leibniz fuera el encargado de gestionar la herencia intelectual
de Pascal habrán influido tanto en el desarrollo de la máquina de
Leibniz como en el desarrollo del
Cálculo diferencial e integral.
triángulo infinitesimal o característico (Pascal )
.
Leibniz concentró su atención en la lectura de las obras de Pascal sobre
la cicloide y otros aspectos del análisis infinitesimal. Fue al leer
Traité des sinus du quart de cercle (Blaise Pascal), en particular al observar el
triángulo infinitesimal o característico usado por Pascal en la cuadratura del seno, semejante al utilizado por Barrow en el trazado de tangentes, que Leibniz dice que "
se hizo la luz" para él.
Leibniz
se da cuenta de que la determinación de la tangente a una curva depende
de la razón entre las diferencias de las ordenadas y las abscisas,
cuando se hacen infinitamente pequeñas estas diferencias; así como las
cuadraturas dependen de la suma de las ordenadas o de los rectángulos
infinitamente estrechos que constituyen el área.
Leibniz
en 1676 supo que estaba en posesión de un método general que era
aplicable a todo tipo de funciones. La grandeza añadida de Leibniz fue
que desarrolló un lenguaje y notación adecuados, que resultaron ser
especialmente afortunados.
Después de varios ensayos
decidió representar por
dx ,
dy las diferencias más
pequeñas posibles (o diferenciales) de la
x y de la
y . Para
representar la suma de las ordenadas bajo la curva utilizó el símbolo
\int y , posteriormente usará
\int y ·dx donde
el signo integral es una esbelta s, inicial de la palabra suma.
La primera exposición del
Cálculo diferencial de Leibniz ocurrió en octubre de 1684,
Nova methodus pro maximis e minimis..., en las
Acta Eruditorum.
Dos años más tarde publica
De geometria recondita et analysi indivisibilium atque infinitorum, en las
Acta Eruditorum 1686, una exposición del
Cálculo integral,
donde muestra que las cuadraturas son un caso especial del método
inverso de las tangentes. Hace hincapié en la importancia de considerar
las funciones trascendentes en el nuevo análisis, pues observa que si no
las incluyéramos entonces no existirían las integrales de muchas
funciones algebraicas.
La eficacia de la notación de Leibniz y lo
plausible de sus ideas provocaron una tendencia a aceptar mejor la idea
de diferencial que la de
fluxión de Newton.
Cálculo diferencial deriva de:
calculus differentialis (cálculo de tangentes).
Cálculo integral deriva de:
calculus summatorius o integralis.
Fuente
Historia de la Matemática (Carl B. Boyer)
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