Leonhard Euler (Basilea, 1707 - San Petersburgo, 1783)
Precisamente, la función Gamma fue descubierta en 1729 entre la correspondencia de Leonhard Euler (que tenía 22 años) y Goldbach. Actualmente, la función Gamma aparece en múltiples ramas de las Matemáticas, desde la teoría de Ecuaciones diferenciales hasta la Estadística; pero su origen se encuentra en la confluencia de un problema de teoría de interpolación con otro de cálculo integral.
El problema de interpolación que dio vida a la función Gamma pasó por las manos de varios matemáticos de la época: Goldbach, Daniel Bernoulli y, antes que ellos, James Stirling, sin dar apenas frutos.
El problema de interpolación que dio vida a la función Gamma pasó por las manos de varios matemáticos de la época: Goldbach, Daniel Bernoulli y, antes que ellos, James Stirling, sin dar apenas frutos.
Sin embargo, todo cambió cuando el asunto llegó hasta Euler. Anunció su solución a Goldbach en sendas cartas, datadas el 13 de octubre de 1729 y el 8 de enero de 1730.
En la primera carta Euler alude al problema de interpolación, mientras
que la segunda versa sobre el de integración y conecta ambos problemas.
En realidad, Euler transmitió a Goldbach tan solo un esbozo de la
solución, que no detallaría hasta un año más tarde en su artículo De progressionibus transcendentibus seu quarum termini generales algebraice dari nequeunt.
El problema planteado por Goldbach trataba de la sucesión: \( \left \{ 1, 1\cdot 2,1\cdot 2\cdot 3,1\cdot 2\cdot 3\cdot 4,... \right \} \) conocida como la sucesión de factoriales: 1!, 2!, 3!,.... ¿es posible obtener una fórmula sencilla para calcular factoriales?, ¿es posible interpolar entre dos factoriales?, ¿qué debería significar 5,5!? La solución de la interpolación factorial escapa del álgebra básica; se hace necesario el uso de procesos infinitos.
Para
apreciar mejor el problema al que se enfrentó Euler, vamos a
actualizarlo a un lenguaje más accesible: se trataría de encontrar una
función razonablemente simple que en cada entero 1, 2, 3,. . . tome como
valor el factorial asociado 1, 2, 6,. . . .
Así,
dados los puntos (1, 1), (2, 2), (3, 6), (4, 24),... , el problema de
interpolación consistiría en encontrar una curva que pase a través de
todos esos puntos. En la época de Euler el concepto de función estaba
asociado con una fórmula (expresión analítica), entendiendo como tal,
cualquier expresión que pudiera ser deducida mediante manipulaciones
elementales: sumas, productos, potencias, logaritmos, etc. En
definitiva, la tarea de Euler consistía en encontrar una expresión
analítica que para cada entero positivo tomara el valor del factorial
correspondiente.
\[
\frac{1\cdot 2^{m}}{1+m}\cdot \frac{2^{1-m}\cdot 3^{m}}{2+m}\cdot
\frac{3^{1-m}\cdot 4^{m}}{3+m}\cdot \frac{4^{1-m}\cdot 5^{m}}{4+m}\cdot
\cdot \cdot = m! \]
Operando resulta:
\[ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n!\cdot \left ( n+1 \right )^{m}}{\left (1+m \right )\cdot \left (2+m \right )\cdot \cdot \cdot \cdot \left ( n+m \right )} = m! \]
Para \(m =2\) , operando, obtenemos el límite:
\[ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2\cdot (n+1))}{n+2}=2 =2! \]
Para \(m =3\):
\[ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{6\cdot \left ( n+1 \right )^{2}}{\left ( n+2 \right )\cdot \left ( n+3 \right )}=6=3! \]
Euler había resuelto el problema en el que fallaron ilustres matemáticos de su época.
Euler observó algunas propiedades de este producto. Para m entero el resultado era un número entero, mientras que para otros valores, por ejemplo \( m=\frac{1}{2} \) , proporcionaba una expresión que involucraba al número \( \pi =\frac{p}{d}\). La aparición de π le sugiere a Euler los círculos y sus cuadraturas, y las cuadraturas significan integrales.
Euler estaba familiarizado con ciertas integrales que cumplían propiedades similares a las mencionadas, lo que le indujo a buscar una transformación que le permitiera expresar el factorial como una integral.
Tomó entonces la integral \( \int_{0}^{1}x^{\alpha }\left ( 1-x \right )^{n}dx \) .
Casos particulares de esta integral ya habían sido estudiados por Wallis, Newton y Stirling. Era una integral complicada de manejar, ya que el integrando no siempre admitía una primitiva elemental como función de x. Suponiendo que n es un número entero y α un valor arbitrario, Euler desarrolló \( \left ( 1-x \right )^{n}\) mediante el teorema binomial.
Y sin mucha dificultad encontró la siguiente identidad:
\[ \int_{0}^{1}x^{\alpha }\left ( 1-x \right )^{n}dx =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( \alpha +1 \right )\cdot \left ( \alpha +2 \right )\cdot \cdot \cdot \left ( \alpha +n+1 \right )} \]
La idea de Euler consistía ahora en aislar el numerador, n!, para expresarlo como una integral.
El proceso para conseguirlo fue laborioso. Comienza suponiendo que \(α = \frac{a}{b}\). Obtiene, operando:
\[ \int_{0}^{1}x^{\frac{a}{b}}\left ( 1-x \right )^{n}dx =\frac{ b^{n+1}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )\cdot \left ( a+\left ( n+1 \right )b \right )} \]
Y despejando:
\[ \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )}=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{b^{n+1}}\int_{0}^{1}x^{\frac{a}{b}}\cdot \left ( 1-x \right )^{n}dx \]
Sustituye \(x\) por \(x^{\frac{b}{a+b}} \) y por tanto \( dx \) será \(\frac{b}{a+b}\cdot x^{\frac{-a}{a+b}}\cdot dx \), además \(x^{\frac{a}{b}}\) será \(x^{\frac{a}{a+b}}\).
Obtiene así:
\[ \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )}=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{b^{n+1}}\int \frac{b}{a+b }\cdot \left ( 1-x ^{\frac{b}{a+b}}\right )^{n}dx=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{\left (a+b \right )^{n+1}}\int \frac{(a+b)^{n}}{b^{n} }\cdot \left ( 1-x ^{\frac{b}{a+b}}\right )^{n}dx \]
Euler observa que si a=1, b=0:
\[ 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n= \int \frac{1}{0^{n}}\cdot \left ( 1-x^{0}\right )^{n} dx=\int \left ( \frac{1-x^{0}}{0} \right )^{n}dx\ \]
Considera ahora que \(y\) es próximo a 0, y resuelve la indeterminación mediante L'Hôpital:
\[ \frac{1-x^{0}}{0}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{1-x^{y}}{y}=\lim_{y\rightarrow 0}\dfrac{-x^{y}\cdot ln(x)dy}{dy}=\lim_{y\rightarrow 0}-x^{y}\cdot ln\left ( x \right )=-ln(x) \]
Así obtuvo lo que buscaba, la expresión de \(n! \) mediante una integral, que pudiera generalizarse a valores no naturales:
\[ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n= \int_{0}^{1}\left ( -ln\left ( x \right ) \right )^{n}dx\]
Cronológicamente hablando, esto nos sitúa, aproximadamente, en el año 1750. La extensión de la función Gamma a los números negativos y posteriormente a los números complejos, se produjo a principios del siglo XIX y formó parte del desarrollo general de la Teoría de funciones de variable compleja que habría de configurar uno de los grandes capítulos de las Matemáticas.
El matemático francés Adrien-Marie Legendre, en 1809, denominó integral euleriana de primera especie, \( \beta \), a la integral con la que
Euler inició su deducción del valor de \(n! \), que hoy conocemos como función Beta:
\[ \beta \left ( m,n \right )= \int_{0}^{1}x^{m-1}\cdot \left ( 1-x \right )^{n-1}dx \]
Así mismo, Legendre denominó integral euleriana de segunda especie, \( \Gamma \):
\[ \Gamma\left ( x \right )=\int_{0}^{\infty }e^{-t}\cdot t^{x-1}dt \]
Verifica la relación de recurrencia: \( \Gamma (x+1)= x\cdot \Gamma (x) \), fácil de comprobar mediante integración por partes. Además \( \Gamma (1)= 1\), de todo esto se deduce que \( \Gamma (n+1)= n!\).
También, como Euler había comprobado:
\[ \Gamma\left ( n+1 \right )= \int_{0}^{1}\left ( -ln\left ( x \right ) \right )^{n}dx = n! \]
En los años posteriores a Euler se estudiaron en profundidad las funciones Gamma y Beta, y su mágica relación:
\[ \beta \left ( m,n \right )=\frac{\Gamma \left ( m \right )\cdot \Gamma (n)}{\Gamma \left (m+n \right )} \]
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Euler, El maestro de todos los matemáticos (William Dunham)
Euler y la Teoría de números
Las funciones eulerianas Gamma y Beta complejas
Euler's Correspondence with Christian Goldbach
The Euler Archive
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Operando resulta:
\[ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{n!\cdot \left ( n+1 \right )^{m}}{\left (1+m \right )\cdot \left (2+m \right )\cdot \cdot \cdot \cdot \left ( n+m \right )} = m! \]
Para \(m =2\) , operando, obtenemos el límite:
\[ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{2\cdot (n+1))}{n+2}=2 =2! \]
Para \(m =3\):
\[ \lim_{n\rightarrow \infty }\frac{6\cdot \left ( n+1 \right )^{2}}{\left ( n+2 \right )\cdot \left ( n+3 \right )}=6=3! \]
Euler había resuelto el problema en el que fallaron ilustres matemáticos de su época.
Euler observó algunas propiedades de este producto. Para m entero el resultado era un número entero, mientras que para otros valores, por ejemplo \( m=\frac{1}{2} \) , proporcionaba una expresión que involucraba al número \( \pi =\frac{p}{d}\). La aparición de π le sugiere a Euler los círculos y sus cuadraturas, y las cuadraturas significan integrales.
Euler estaba familiarizado con ciertas integrales que cumplían propiedades similares a las mencionadas, lo que le indujo a buscar una transformación que le permitiera expresar el factorial como una integral.
Tomó entonces la integral \( \int_{0}^{1}x^{\alpha }\left ( 1-x \right )^{n}dx \) .
Casos particulares de esta integral ya habían sido estudiados por Wallis, Newton y Stirling. Era una integral complicada de manejar, ya que el integrando no siempre admitía una primitiva elemental como función de x. Suponiendo que n es un número entero y α un valor arbitrario, Euler desarrolló \( \left ( 1-x \right )^{n}\) mediante el teorema binomial.
Y sin mucha dificultad encontró la siguiente identidad:
\[ \int_{0}^{1}x^{\alpha }\left ( 1-x \right )^{n}dx =\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( \alpha +1 \right )\cdot \left ( \alpha +2 \right )\cdot \cdot \cdot \left ( \alpha +n+1 \right )} \]
La idea de Euler consistía ahora en aislar el numerador, n!, para expresarlo como una integral.
El proceso para conseguirlo fue laborioso. Comienza suponiendo que \(α = \frac{a}{b}\). Obtiene, operando:
\[ \int_{0}^{1}x^{\frac{a}{b}}\left ( 1-x \right )^{n}dx =\frac{ b^{n+1}\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )\cdot \left ( a+\left ( n+1 \right )b \right )} \]
Y despejando:
\[ \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )}=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{b^{n+1}}\int_{0}^{1}x^{\frac{a}{b}}\cdot \left ( 1-x \right )^{n}dx \]
Sustituye \(x\) por \(x^{\frac{b}{a+b}} \) y por tanto \( dx \) será \(\frac{b}{a+b}\cdot x^{\frac{-a}{a+b}}\cdot dx \), además \(x^{\frac{a}{b}}\) será \(x^{\frac{a}{a+b}}\).
Obtiene así:
\[ \frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n}{\left ( a+b \right )\cdot \left (a+2b \right )\cdot \cdot \cdot \left (a+nb \right )}=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{b^{n+1}}\int \frac{b}{a+b }\cdot \left ( 1-x ^{\frac{b}{a+b}}\right )^{n}dx=\frac{a+\left ( n+1 \right )b}{\left (a+b \right )^{n+1}}\int \frac{(a+b)^{n}}{b^{n} }\cdot \left ( 1-x ^{\frac{b}{a+b}}\right )^{n}dx \]
Euler observa que si a=1, b=0:
\[ 1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n= \int \frac{1}{0^{n}}\cdot \left ( 1-x^{0}\right )^{n} dx=\int \left ( \frac{1-x^{0}}{0} \right )^{n}dx\ \]
Considera ahora que \(y\) es próximo a 0, y resuelve la indeterminación mediante L'Hôpital:
\[ \frac{1-x^{0}}{0}=\lim_{y\rightarrow 0}\frac{1-x^{y}}{y}=\lim_{y\rightarrow 0}\dfrac{-x^{y}\cdot ln(x)dy}{dy}=\lim_{y\rightarrow 0}-x^{y}\cdot ln\left ( x \right )=-ln(x) \]
Así obtuvo lo que buscaba, la expresión de \(n! \) mediante una integral, que pudiera generalizarse a valores no naturales:
\[ n!=1\cdot 2\cdot 3\cdot \cdot \cdot \cdot n= \int_{0}^{1}\left ( -ln\left ( x \right ) \right )^{n}dx\]
Cronológicamente hablando, esto nos sitúa, aproximadamente, en el año 1750. La extensión de la función Gamma a los números negativos y posteriormente a los números complejos, se produjo a principios del siglo XIX y formó parte del desarrollo general de la Teoría de funciones de variable compleja que habría de configurar uno de los grandes capítulos de las Matemáticas.
\[ \beta \left ( m,n \right )= \int_{0}^{1}x^{m-1}\cdot \left ( 1-x \right )^{n-1}dx \]
Así mismo, Legendre denominó integral euleriana de segunda especie, \( \Gamma \):
\[ \Gamma\left ( x \right )=\int_{0}^{\infty }e^{-t}\cdot t^{x-1}dt \]
Verifica la relación de recurrencia: \( \Gamma (x+1)= x\cdot \Gamma (x) \), fácil de comprobar mediante integración por partes. Además \( \Gamma (1)= 1\), de todo esto se deduce que \( \Gamma (n+1)= n!\).
También, como Euler había comprobado:
\[ \Gamma\left ( n+1 \right )= \int_{0}^{1}\left ( -ln\left ( x \right ) \right )^{n}dx = n! \]
En los años posteriores a Euler se estudiaron en profundidad las funciones Gamma y Beta, y su mágica relación:
\[ \beta \left ( m,n \right )=\frac{\Gamma \left ( m \right )\cdot \Gamma (n)}{\Gamma \left (m+n \right )} \]
_____________________
Euler, El maestro de todos los matemáticos (William Dunham)
Euler y la Teoría de números
Las funciones eulerianas Gamma y Beta complejas
Euler's Correspondence with Christian Goldbach
The Euler Archive
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